Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
integral 3 x^2 raizx^3-2 d x

Passo 1

Vamos resolver a antiderivação da função . Esse exercício envolve o cálculo de integrais utilizando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, simplificando assim a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que u = x^3 - 2 pode ser uma boa candidata para substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 , dx para substituir :
Isso mostra que é igual a , o que simplifica nossa integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 3x^2 raizx^3-2 , dx = integral raizu , du
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos 23 (x^3 - 2)^3/2 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A antiderivação da função é:
23 (x^3 - 2)^3/2 + C

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