Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a antiderivada de
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar usar a regra da cadeia para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Olha só, temos uma função dentro de outra função:
elevada à sétima potência. Vamos chamar isso de
.
Então, definimos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que será
. Isso nos ajuda a substituir
na integral.
Derivando
:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Para isso, isolamos
:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
. Lembrando que a antiderivada de
é
, desde que
.
Integrando:
Passo 7
Por último, substituímos
de volta para
para obter a antiderivada em termos de
.
Então:
Resposta
A antiderivada é:
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Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.