Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
integral(3 x+5)^7 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a antiderivada de . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar usar a regra da cadeia para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Olha só, temos uma função dentro de outra função: u = 3x + 5 elevada à sétima potência. Vamos chamar isso de .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3 em relação a du = 3 , dx , que será . Isso nos ajuda a substituir na integral.
Derivando :

Passo 4

Queremos expressar dx = du3 em termos de . Para isso, isolamos :

Passo 5

Substituímos integral(3x + 5)^7 , dx = integral u^7 cdot du3 e = 13 integral u^7 , du na integral original:

Passo 6

Agora, vamos integrar 13 cdot u^88 + C em relação a = u^824 + C . Lembrando que a antiderivada de é , desde que .
Integrando:

Passo 7

Por último, substituímos (3x + 5)^824 + C de volta para para obter a antiderivada em termos de .
Então:

Resposta

A antiderivada é:
(3x + 5)^824 + C

Exercícios relacionados

Encontre a antiderivação das funções abaixo utilizando a técnica adequada.
integral 3 x^2 raizx^3-2 d x
Determine a integral indefinida e confirme o resultado por derivação.
integral(x^3+2) d x
integral 3 x^2 d x
integral-5 d t