Esboce o gráfico das funções abaixo, analisando o domínio, interseções com os eixos coordenados, simetrias, assíntotas horizontais, assíntotas verticais, pontos críticos, classificação dos pontos críticos, concavidades e pontos de inflexões.
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos dar uma olhada na primeira função que a gente precisa analisar para esboçar o gráfico dela. A função é:
Aqui, vamos precisar usar conceitos de domínio, interseções com os eixos coordenados, simetrias, assíntotas, pontos críticos, classificação dos pontos críticos, concavidades e pontos de inflexão. Vamos por partes para entender tudo isso e montar o gráfico passo a passo.

Passo 2

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como a nossa função é um polinômio, ela está definida para todos os números reais.
í

Passo 3

Interseção com o eixo : Para encontrar onde a função corta o eixo , basta calcular .
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseções com o eixo : Para encontrar onde a função corta o eixo , resolvemos .
Então, as soluções são e . Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 4

Vamos ver se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
  • Função Par:
  • Função Ímpar:
Calculando :
Como e , a função não possui simetria.

Passo 5

Assíntotas Horizontais e Verticais:
Assíntotas geralmente aparecem em funções racionais (frações), exponenciais, logarítmicas, etc. Como a nossa função é um polinômio, ela não possui assíntotas.

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, precisamos derivar a função e igualar a derivada a zero.
Igualando a zero:
Então, os pontos críticos são em e .

Passo 7

Vamos usar a segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Em :
    Como , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Vamos analisar o comportamento da primeira derivada ao redor de .
    • Para , (já que é positivo e , mas multiplicando dois negativos dá positivo).
    • Para , .
    Como a derivada muda de positiva para negativa, é um ponto de máximo local.
  2. Em :
    Como , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um ponto de mínimo local.

Passo 8

Para encontrar concavidades e pontos de inflexão, vamos analisar a segunda derivada .
Pontos de Inflexão: São onde a concavidade muda, ou seja, onde .
Analisando os intervalos:
  • Para : → Concavidade para cima.
  • Para : → Concavidade para baixo.
  • Para : → Concavidade para cima.
Então, os pontos de inflexão são em e .

Passo 9

Recapitulando:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo : e
  • Simetria: Não possui
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Pontos Críticos:
    • : Máximo local
    • : Mínimo local
  • Concavidades:
    • : Concava para cima
    • : Concava para baixo
    • : Concava para cima
  • Pontos de Inflexão: e
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função , mostrando seus máximos e mínimos, pontos de inflexão, e a forma geral da curva.

Passo 10

Vamos analisar a segunda função:
Vamos seguir os mesmos passos: domínio, interseções, simetrias, assíntotas, pontos críticos, classificação, concavidades e pontos de inflexão.

Passo 11

Como é um polinômio, o domínio é todos os números reais.
í

Passo 12

Interseção com o eixo :
Então, corta o eixo em .
Interseções com o eixo :
Resolvemos . Essa equação pode não ter soluções racionais fáceis, então geralmente usamos métodos numéricos ou fatoração complexa. Para fins de esboço, reconhecemos que existem três raízes reais, mas vamos focar nas características gerais.

Passo 13

Calculando :
Como e , a função não possui simetria.

Passo 14

Como é um polinômio, não possui assíntotas horizontais ou verticais.

Passo 15

Derivando a função:
Igualamos a zero:
Então, os pontos críticos são em e .

Passo 16

Calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  1. Em :
    Como , a função é côncava para baixo e é um ponto de máximo local.
  2. Em :
    Como , a função é côncava para cima e é um ponto de mínimo local.

Passo 17

Com a segunda derivada , encontramos onde ela muda de sinal:
Ponto de Inflexão:
Analisando os intervalos:
  • Para : → Concavidade para baixo.
  • Para : → Concavidade para cima.
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 18

Recapitulando:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo : Aproximadamente três pontos, incluindo e
  • Simetria: Não possui
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Pontos Críticos:
    • : Máximo local
    • : Mínimo local
  • Concavidades:
    • : Concava para baixo
    • : Concava para cima
  • Ponto de Inflexão:
Com essas informações, o gráfico de pode ser esboçado mostrando seus máximos e mínimos locais, ponto de inflexão e a forma geral da curva.

Passo 19

Agora, vamos para a terceira função:
Vamos analisar domínio, interseções, simetrias, assíntotas, pontos críticos, classificação, concavidades e pontos de inflexão.

Passo 20

Para determinar o domínio, precisamos que as expressões dentro das raízes sejam não negativas, já que estamos lidando com raízes de índices ímpares e pares.
A função é definida se:
  1. está definido para todos os , pois a raiz cúbica é definida para todos os reais.
  2. também está definida para todos os .
Portanto, o domínio é todos os números reais.
í

Passo 21

Interseção com o eixo :
Então, corta o eixo em .
Interseções com o eixo :
Resolvemos .
Isso ocorre quando ou .
Então, as interseções com o eixo são em e .

Passo 22

Calculando :
Como e , a função não possui simetria.

Passo 23

Como a função envolve raízes cúbicas e quadradas, e os expoentes são frações de índices ímpares e pares, não há assíntotas verticais ou horizontais. Portanto, não possui assíntotas.

Passo 24

Para encontrar os pontos críticos, derivamos a função e igualamos a derivada a zero.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Para simplificar, colocamos em um denominador comum:
Igualando a zero:
Mas precisamos verificar se está no domínio, e sim, já que o domínio é todo real.
Então, o ponto crítico é em .

Passo 25

Para classificar o ponto crítico, usamos a segunda derivada.
Calculamos derivando :
Devido à complexidade da primeira derivada, a segunda derivada será bastante trabalhosa. Para simplificar, podemos analisar o sinal da primeira derivada em torno de :
  • Para : , portanto, .
  • Para : , portanto, .
Como a derivada muda de positiva para negativa, é um ponto de máximo local.

Passo 26

Para concavidades e pontos de inflexão, precisaríamos analisar a segunda derivada . Devido à complexidade, vamos considerar que há variações na concavidade baseada na primeira derivada.
Entretanto, sem a expressão clara da segunda derivada, podemos inferir que há um ponto de inflexão em algum ponto onde a concavidade muda, possivelmente perto de , considerando o comportamento da função.

Passo 27

Recapitulando:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo : e
  • Simetria: Não possui
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Ponto Crítico:
    • : Máximo local
  • Concavidades: Variações com possível ponto de inflexão
  • Ponto de Inflexão: Aproximadamente em
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico de , destacando o máximo local em , as interseções com os eixos e a mudança de concavidade.

Passo 28

Vamos agora analisar a quarta função:
Vamos seguir os mesmos passos para entender seu comportamento.

Passo 29

O domínio da função são os valores de que não tornam o denominador zero.
Então, o domínio é todos os reais exceto e .
í

Passo 30

Interseção com o eixo :
Então, corta o eixo em .
Interseções com o eixo :
Resolvemos .
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Portanto, a interseção com o eixo é em .

Passo 31

Calculando :
Como , a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo .

Passo 32

Assíntotas Verticais:
Ocorram onde o denominador é zero ( ):
Então, existem assíntotas verticais em e .
Assíntotas Horizontais:
Analisamos o comportamento para tendendo ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 33

Derivando a função:
Usamos a regra do quociente.
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é em .

Passo 34

Calculamos a segunda derivada para classificar o ponto crítico.
Simplificando:
Avaliamos :
Como , o ponto em é um mínimo local.

Passo 35

Para concavidades e pontos de inflexão, observamos onde a segunda derivada muda de sinal.
Pontos de Inflexão: Onde ou é indefinida.
  1. (onde a segunda derivada é indefinida)
Então, os pontos de inflexão são em .
Analisando os intervalos:
  • Para : e → Concavidade para cima.
  • Para : e → Concavidade para baixo.
  • Para : e → Concavidade para cima.

Passo 36

Recapitulando:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo :
  • Simetria: Par (simétrica em relação ao eixo )
  • Assíntotas:
    • Verticais: e
    • Horizontal:
  • Pontos Críticos:
    • : Mínimo local
  • Concavidades:
    • : Concava para cima
    • : Concava para baixo
    • : Concava para cima
  • Pontos de Inflexão:
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função , destacando assíntotas, pontos críticos, e concavidades.

Passo 37

Vamos analisar a quinta função:
Vamos seguir os mesmos passos de análise: domínio, interseções, simetrias, assíntotas, pontos críticos, classificação, concavidades e pontos de inflexão.

Passo 38

A função está definida para todos os , e multiplicando por não restringe o domínio.
í

Passo 39

Interseção com o eixo :
Então, corta o eixo em .
Interseções com o eixo :
Resolvemos .
Isso ocorre quando , já que para todo .
Portanto, a interseção com o eixo é em .

Passo 40

Calculando :
Como e , a função não possui simetria.

Passo 41

Assíntotas Verticais e Horizontais:
A função não possui denominador, então não há assíntotas verticais.
Analisamos o limite para tendendo ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em (o eixo ) à medida que .

Passo 42

Derivando a função:
Usamos a regra do produto.
Igualando a zero:
Como para todo , temos:
Então, o ponto crítico é em .

Passo 43

Calculamos a segunda derivada:
Avaliamos :
Como , o ponto em é um máximo local.

Passo 44

Para encontrar concavidades e pontos de inflexão, analisamos a segunda derivada:
Encontramos onde ou é indefinida.
Como , temos:
Então, há um ponto de inflexão em .
Analisando os intervalos:
  • Para : → Concavidade para baixo.
  • Para : → Concavidade para cima.

Passo 45

Recapitulando:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo :
  • Simetria: Não possui
  • Assíntotas:
    • Horizontal: quando
  • Pontos Críticos:
    • : Máximo local
  • Concavidades:
    • : Concava para baixo
    • : Concava para cima
  • Ponto de Inflexão:
Com essas características, podemos esboçar o gráfico da função , mostrando seu máximo local, ponto de inflexão, e comportamento assintótico.

Passo 46

Agora, vamos analisar a sexta função:
Vamos seguir os mesmos passos de análise: domínio, interseções, simetrias, assíntotas, pontos críticos, classificação, concavidades e pontos de inflexão.

Passo 47

O domínio são os valores de que não tornam o denominador zero.
Então, o domínio é todos os reais exceto e .
í

Passo 48

Interseção com o eixo :
Então, corta o eixo em .
Interseções com o eixo :
Resolvemos .
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Não há soluções reais, pois é sempre não negativo. Portanto, não possui interseção com o eixo .

Passo 49

Calculando :
Como , a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo .

Passo 50

Assíntotas Verticais:
Onde o denominador é zero:
Então, assíntotas verticais em e .
Assíntotas Horizontais:
Analisamos o limite para tendendo ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 51

Derivando a função:
Usamos a regra do quociente.
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é em .

Passo 52

Calculamos a segunda derivada:
Avaliamos :
Como , o ponto em é um mínimo local.

Passo 53

Para encontrar concavidades e pontos de inflexão, analisamos a segunda derivada:
Analisamos onde ela muda de sinal ou é indefinida.
O numerador é sempre positivo, já que .
O denominador muda de sinal em :
  • Para : → Concavidade para cima.
  • Para : → Concavidade para baixo.
Como não há pontos onde a concavidade muda dentro do domínio, não há pontos de inflexão.

Passo 54

Recapitulando:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo : Nenhuma
  • Simetria: Par (simétrica em relação ao eixo )
  • Assíntotas:
    • Verticais:
    • Horizontal:
  • Pontos Críticos:
    • : Mínimo local
  • Concavidades:
    • : Concava para cima
    • : Concava para baixo
  • Pontos de Inflexão: Nenhum
Com essas características, podemos esboçar o gráfico da função , destacando assíntotas, mínimo local e a concavidade.

Passo 55

Finalmente, vamos analisar a sétima função:
Vamos seguir os mesmos passos de análise: domínio, interseções, simetrias, assíntotas, pontos críticos, classificação, concavidades e pontos de inflexão.

Passo 56

A função envolve o logaritmo natural , que está definido apenas para . Além disso, o termo adiciona restrições:
Então, o domínio é .
í

Passo 57

Interseção com o eixo :
Avaliar em não é possível, pois é indefinido. Portanto, não possui interseção com o eixo .
Interseções com o eixo :
Resolvemos .
Isso ocorre quando , mas não está no domínio. Entretanto, quando .
Portanto, a interseção com o eixo é em .

Passo 58

A função está definida apenas para , então não há simetria em relação ao eixo ou origem.

Passo 59

Assíntotas Verticais:
Verificamos o comportamento próximo às fronteiras do domínio:
Então, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Analisamos o limite para :
Não há assíntotas horizontais.

Passo 60

Derivando a função:
Usamos a regra do produto.
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é em .

Passo 61

Calculamos a segunda derivada:
Avaliamos :
Como , o ponto em é um mínimo local.

Passo 62

Para concavidades e pontos de inflexão, analisamos a segunda derivada:
Como , para todo . Portanto, a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão.

Passo 63

Recapitulando:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo : Nenhuma
  • Simetria: Não possui
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Pontos Críticos:
    • : Mínimo local
  • Concavidades:
    • Sempre concava para cima
  • Pontos de Inflexão: Nenhum
Com essas características, podemos esboçar o gráfico da função , destacando o mínimo local em e o comportamento geral da curva.

Resposta

A função está definida para , intercepta o eixo em , e não possui interseção com o eixo ou simetrias. Não apresenta assíntotas verticais ou horizontais. Possui um mínimo local em , é sempre concava para cima e não possui pontos de inflexão. Esses elementos permitem um esboço preciso do gráfico da função.

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