lim x infty x e^-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite de . Esse problema está relacionado aos limites de funções que combinam polinômios e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando cresce indefinidamente e usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a expressão para facilitar a aplicação da regra de L’Hôpital:
x e^-x^2 = xe^x^2
Agora, vamos analisar os comportamentos do numerador e denominador quando tende ao infinito:
  • O numerador cresce sem limites.
  • O denominador cresce ainda mais rápido, de forma exponencial.
Isso nos dá uma forma indeterminada , onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que permite derivar o numerador e o denominador separadamente para resolver o limite.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital:
lim x infty xe^x^2 = lim x infty ddx(x) / ddx(e^x^2)
Calculando as derivadas:
ddx(x) = 1
ddx(e^x^2) = 2x e^x^2
Então, o limite fica:
lim x infty 12x e^x^2
Novamente, o denominador cresce muito rápido, fazendo com que a fração inteira tende a zero.

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados