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Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite de
. Esse problema está relacionado aos limites de funções que combinam polinômios e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
cresce indefinidamente e usar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a expressão para facilitar a aplicação da regra de L’Hôpital:
Agora, vamos analisar os comportamentos do numerador e denominador quando
tende ao infinito:
- O numerador
cresce sem limites. - O denominador
cresce ainda mais rápido, de forma exponencial.
Isso nos dá uma forma indeterminada
, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que permite derivar o numerador e o denominador separadamente para resolver o limite.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Calculando as derivadas:
Então, o limite fica:
Novamente, o denominador
cresce muito rápido, fazendo com que a fração inteira tende a zero.
Resposta
O limite é igual a
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Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo, analisando o domínio, interseções com os eixos coordenados, simetrias, assíntotas horizontais, assíntotas verticais, pontos críticos, classificação dos pontos críticos, concavidades e pontos de inflexões.
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Encontre uma antiderivada para cada uma das seguintes funções:
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