Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Temos que encontrar a antiderivada mais geral da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de antiderivadas ou integrais indefinidas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e entender que a antiderivada inclui uma constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a antiderivada de
é
, desde que
. Isso é baseado na regra de potenciação da integração. Então, vamos aplicar essa regra a cada termo da função.
Passo 3
Vamos começar integrando o primeiro termo,
:
Aqui, aumentamos o expoente em 1 (20 + 1 = 21) e dividimos por esse novo expoente.
Passo 4
Agora, o segundo termo,
. Primeiro, podemos tirar o 4 como constante:
Mesma ideia: aumentar o expoente e dividir.
Passo 5
Por fim, o termo constante, 8. A antiderivada de uma constante
é
:
Esse é um caso simples porque a integral de uma constante é linear.
Passo 6
Juntando tudo, somamos as antiderivadas encontradas e adicionamos a constante de integração
:
Resposta
A antiderivada mais geral da função é:
onde
é uma constante real.
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