Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f(x) = x^20 + 4 x^30 + 8

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Temos que encontrar a antiderivada mais geral da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de antiderivadas ou integrais indefinidas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e entender que a antiderivada inclui uma constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a antiderivada de é , desde que . Isso é baseado na regra de potenciação da integração. Então, vamos aplicar essa regra a cada termo da função.

Passo 3

Vamos começar integrando o primeiro termo, :
Aqui, aumentamos o expoente em 1 (20 + 1 = 21) e dividimos por esse novo expoente.

Passo 4

Agora, o segundo termo, . Primeiro, podemos tirar o 4 como constante:
Mesma ideia: aumentar o expoente e dividir.

Passo 5

Por fim, o termo constante, 8. A antiderivada de uma constante é :
Esse é um caso simples porque a integral de uma constante é linear.

Passo 6

Juntando tudo, somamos as antiderivadas encontradas e adicionamos a constante de integração :

Resposta

A antiderivada mais geral da função é:
onde é uma constante real.

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