Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f(x) = 5 x^(1.4) - 7 x^(2/4)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos encontrar a antiderivada mais geral da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de antiderivação de funções polinomiais.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de uma função polinomial, usamos a regra básica da antiderivação: se temos , sua antiderivada é , onde é a constante de integração que representa todas as possíveis antiderivadas.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra a cada termo da função :
  1. Primeiro termo:
    A antiderivada será:
  2. Segundo termo: que simplifica para
    A antiderivada será:

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada antiderivada encontrada:
  1. Para o primeiro termo:
  2. Para o segundo termo:

Passo 5

Podemos simplificar ainda mais as frações:
  1. pode ser simplificado dividindo o numerador e o denominador por 0,1:
  2. também pode ser simplificado:
Então, a antiderivada fica:

Passo 6

Vamos verificar se nossa antiderivada está correta diferenciando :
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
Somando as derivadas:
Que é exatamente a função original . Isso confirma que nossa antiderivada está correta.

Resposta

A antiderivada mais geral da função é:

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g(g(a))