Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos encontrar a antiderivada mais geral da função
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de antiderivação de funções polinomiais.
Passo 2
Para encontrar a antiderivada de uma função polinomial, usamos a regra básica da antiderivação: se temos
, sua antiderivada é
, onde
é a constante de integração que representa todas as possíveis antiderivadas.
Passo 3
Vamos aplicar essa regra a cada termo da função
:
-
Primeiro termo:A antiderivada será:
-
Segundo termo:
que simplifica para A antiderivada será:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada antiderivada encontrada:
-
Para o primeiro termo:
-
Para o segundo termo:
Passo 5
Podemos simplificar ainda mais as frações:
-
pode ser simplificado dividindo o numerador e o denominador por 0,1: -
também pode ser simplificado:
Então, a antiderivada fica:
Passo 6
Vamos verificar se nossa antiderivada está correta diferenciando
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
:
Somando as derivadas:
Que é exatamente a função original
. Isso confirma que nossa antiderivada está correta.
Resposta
A antiderivada mais geral da função é:
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Deixe
e
. Obtenha cada uma das seguintes funções compostas