Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f(u) = (u^2 + 3 * raiz(u)) / u^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a antiderivada mais geral da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre antiderivadas. Para resolver, vamos precisar simplificar a função e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar a integração. Temos:
Podemos dividir cada termo do numerador por :
Simplificando os expoentes:
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de . A antiderivada, ou integral indefinida, de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Para integrar termo a termo:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, a integral de em relação a é simplesmente , porque a derivada de é .
Segundo, vamos integrar . Lembrando que a integral de é (desde que ).

Resposta

Juntando os dois resultados, a antiderivada mais geral de é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f(x) = 5 x^(1.4) - 7 x^(2/4)
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.) f(x) = x^20 + 4 x^30 + 8
Deixe S(x) = x^2, P(x) = 2^x, s(x) = sen(x), f(x) = 1 / (x^2 + 1) e g(x) = 2x + 3. Obtenha cada uma das seguintes funções compostas
g(g(a))
Ache o domínio das funções definidas por f(x) = raiz(1 - x^2)