Encontre as antiderivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as antiderivadas da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos um produto de funções, como no caso da ln(x) e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar para encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

Portanto, uma antiderivada da função é:
onde é a constante de integração.

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