Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as antiderivadas da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos um produto de funções, como no caso da ln(x) e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar, e
como a parte que é fácil de integrar.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar
e integrar
para encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral restante:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Resposta
Portanto, uma antiderivada da função
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Encontre as antiderivadas das seguintes funções: