Encontre as antiderivadas das seguintes funções:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função . Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de integrais e antiderivadas. Para solucionar, vamos precisar usar identidades trigonométricas e aplicar técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que . Então, elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado:
Portanto, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 5

Vamos lembrar de algumas integrais básicas que precisamos:
Agora, falta calcular .

Passo 6

Para integrar , usamos a seguinte técnica:
Isso é derivado da integração por partes e do uso de identidades trigonométricas.

Passo 7

Agora, substituímos as integrais encontradas de volta na expressão original:
Simplificando os termos:

Resposta

A antiderivada de é:

Exercícios relacionados

Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Encontre , sendo e .