Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de integrais e antiderivadas. Para solucionar, vamos precisar usar identidades trigonométricas e aplicar técnicas de integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
. Então, elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 3
Agora, vamos expandir o quadrado:
Portanto, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 5
Vamos lembrar de algumas integrais básicas que precisamos:
Agora, falta calcular
.
Passo 6
Para integrar
, usamos a seguinte técnica:
Isso é derivado da integração por partes e do uso de identidades trigonométricas.
Passo 7
Agora, substituímos as integrais encontradas de volta na expressão original:
Simplificando os termos:
Resposta
A antiderivada de
é:
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Encontre
, sendo
e
.