Encontre uma aproximação linear para: 0,99^3+2,01^3-6(0,99)(2,01)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão usando uma aproximação linear. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especialmente a ideia de aproximação usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever os números para facilitar. Note que é praticamente e é quase . Assim, podemos considerar e como nossos pontos de referência, e as pequenas variações e .

Passo 3

A aproximação linear de uma função em torno de um ponto utiliza a fórmula:
f(x+De
Aqui, e são as derivadas parciais da função em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos definir nossa função:
f(x, y) = x^3 + y^3 - 6xy
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a fx = partial fpartial x = 3x^2 - 6y :
fy = partial fpartial y = 3y^2 - 6x
E em relação a :

Passo 6

Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto fx(1, 2) = 3(1)^2 - 6(2) = 3 - 12 = -9 e fy(1, 2) = 3(2)^2 - 6(1) = 12 - 6 = 6 :

Passo 7

Vamos também calcular o valor da função no ponto f(1, 2) = 1^3 + 2^3 - 6(1)(2) = 1 + 8 - 12 = -3 e :

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da aproximação linear:
f(0,99, 2,01) approx f(1, 2) + fx(1, 2)De
Substituindo os valores:
f(0,99, 2,01) approx -3 + (-9)(-0,01) + 6(0,01)

Passo 9

Resolvendo as multiplicações:
-9 times -0,01 = 0,09
6 times 0,01 = 0,06
Então:
f(0,99, 2,01) approx -3 + 0,09 + 0,06 = -2,85

Resposta

A aproximação linear de é .

Exercícios relacionados

f) integral(4 x^3+x^2) d x
Encontre a integral indefinida geral.
integral(5+23 x^2+34 x^3) d x
Um ponto material desloca-se em movimento harmônico simples. Sua máxima aceleração é 3,00 m / s^2 e sua máxima velocidade, 150 mm / s. Determine a amplitude e a freqüência do movimento.
Estabeleça as seguintes regras para se trabalhar com diferenciais, sendo u e v funções de x:
(a) d(u+v)=d u+d v
(b) d(u v)=u d v+v d u.