Estabeleça as seguintes regras para se trabalhar com diferenciais, sendo u e v funções de x:
(a) d(u+v)=d u+d v
(b) d(u v)=u d v+v d u.

Passo 1

Então, a gente tem duas funções, e , que dependem de . A questão quer que a gente estabeleça algumas regrinhas para trabalhar com os diferenciais dessas funções. Basicamente, vamos ver como calcular o diferencial da soma e o diferencial do produto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funcionam os diferenciais na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o diferencial de uma função, representado por ou , nos dá uma ideia de como a função muda quando muda um pouquinho. É como se a gente estivesse olhando para a inclinação da função naquele ponto específico.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): d(u + v) = du + dv . Aqui, queremos ver como o diferencial da soma das duas funções é relacionado com os diferenciais individuais. Pensando de forma simples, se você tem duas funções que mudam, o jeito que a soma delas muda é simplesmente a soma das mudanças de cada uma. Então, o diferencial da soma é a soma dos diferenciais.
Matematicamente:
Isso mostra que a mudança na soma é a soma das mudanças individuais.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): d(u cdot v) = u cdot dv + v cdot du . Essa é a famosa regra do produto. Quando você tem o produto de duas funções, a mudança nesse produto não é apenas a soma das mudanças individuais, mas envolve ambas as funções multiplicadas pelas mudanças da outra.
Então, para o produto , o diferencial é:
Isso significa que você pega uma função multiplicada pela mudança da outra e soma com a segunda função multiplicada pela mudança da primeira.

Resposta

As regras estabelecidas são:
a) d(u + v) = du + dv
b) d(u cdot v) = u cdot dv + v cdot du

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