Esboce o gráfico da função
. O
e a curva passa por
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que o domínio dessa função é todos os números reais, exceto
e
, e que a curva passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos analisar passo a passo os componentes dessa função, como interceptos, assíntotas e comportamento geral do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O denominador
não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Então, resolvemos:
Portanto, o domínio é todos os reais exceto
e
, o que já foi dado na questão.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função. O intercepto com o eixo Y ocorre quando
:
Então, a função passa pelo ponto
, conforme informado.
Para encontrar o intercepto com o eixo X, resolvemos
:
Portanto, o único intercepto é
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, em
e
. Nessas linhas, o gráfico da função tende ao infinito.
Passo 5
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais ou oblíquas. Para funções racionais onde o grau do numerador é igual ao grau do denominador, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
Supondo que
seja uma constante, a função se torna algo como
, onde
é uma constante. O grau do numerador é 1 e o do denominador é 2, então há uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais:
-
Para
: - O denominador
é positivo. - O numerador depende do valor de
.
- O denominador
-
Para
: - O denominador
é negativo. - O numerador depende do valor de
.
- O denominador
-
Para
: - O denominador
é positivo. - O numerador depende do valor de
.
- O denominador
Isso nos ajuda a determinar em quais intervalos a função está acima ou abaixo do eixo X.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Intercepto:
- Assíntotas verticais:
e - Assíntota horizontal:
- Comportamento nos intervalos: Analisando os sinais do numerador e denominador em cada intervalo, determinamos se a função está positiva ou negativa.
Resposta
O gráfico da função
possui um intercepto em
, assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. Com base no comportamento nos intervalos definidos pelas assíntotas, o esboço mostrará a curva se aproximando das assíntotas verticais e se assentando na assíntota horizontal conforme
tende ao infinito positivo e negativo.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função
. O
e a curva passa por
.
Encontre a aproximação quadrática
para a função
que satisfaça as condições (i), (ii) e (iii) com
. Faça o gráfico de
e da aproximação linear
uma mesma tela. Comente a qualidade das aproximações
e
de
.
Mostre que sejam
e
funções tais que
esteja bem definida. E
é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
.
Mostre que se
é um número interiro positivo, então: