Esboce o gráfico da função . O e a curva passa por .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função . Sabemos que o domínio dessa função é todos os números reais, exceto e , e que a curva passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos analisar passo a passo os componentes dessa função, como interceptos, assíntotas e comportamento geral do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O denominador não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Então, resolvemos:
Portanto, o domínio é todos os reais exceto e , o que já foi dado na questão.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função. O intercepto com o eixo Y ocorre quando :
Então, a função passa pelo ponto , conforme informado.
Para encontrar o intercepto com o eixo X, resolvemos :
Portanto, o único intercepto é .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, em e . Nessas linhas, o gráfico da função tende ao infinito.

Passo 5

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais ou oblíquas. Para funções racionais onde o grau do numerador é igual ao grau do denominador, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
Supondo que seja uma constante, a função se torna algo como , onde é uma constante. O grau do numerador é 1 e o do denominador é 2, então há uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais:
  1. Para :
    • O denominador é positivo.
    • O numerador depende do valor de .
  2. Para :
    • O denominador é negativo.
    • O numerador depende do valor de .
  3. Para :
    • O denominador é positivo.
    • O numerador depende do valor de .
Isso nos ajuda a determinar em quais intervalos a função está acima ou abaixo do eixo X.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Intercepto:
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota horizontal:
  • Comportamento nos intervalos: Analisando os sinais do numerador e denominador em cada intervalo, determinamos se a função está positiva ou negativa.

Resposta

O gráfico da função possui um intercepto em , assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . Com base no comportamento nos intervalos definidos pelas assíntotas, o esboço mostrará a curva se aproximando das assíntotas verticais e se assentando na assíntota horizontal conforme tende ao infinito positivo e negativo.

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Encontre a aproximação quadrática para a função que satisfaça as condições (i), (ii) e (iii) com . Faça o gráfico de e da aproximação linear uma mesma tela. Comente a qualidade das aproximações e de .
Mostre que sejam e funções tais que esteja bem definida. E é contínua em e é contínua em , então é contínua em .
Mostre que se é um número interiro positivo, então: