Encontre o polinômio de Taylor de 8^0 grau, centrado em a = 0 para a função f(x) = cos(x). Faça os gráficos de f e suas aproximações de Taylor T2, T4, T6, T8 na janela retangular [-5,5] por [-1.4, 1.4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o polinômio de Taylor de 8º grau para a função , centrado em . Além disso, precisamos fazer os gráficos da função e das aproximações de Taylor de graus 2, 4, 6 e 8 na janela por . Para resolver isso, vamos precisar saber como construir um polinômio de Taylor e entender um pouco sobre derivadas da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação de uma função suave por meio de um polinômio, que é centrada em um ponto específico, nesse caso . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau para uma função centrada em é:
Como vamos centrar em , a fórmula fica um pouco mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de até a oitava ordem e avaliá-las em :

Passo 4

Observando as derivadas, percebemos que apenas as derivadas pares de são diferentes de zero em . Isso simplifica nosso polinômio de Taylor, já que os termos ímpares vão ser zero.
Vamos montar o polinômio de Taylor de 8º grau:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando os fatoriais:

Passo 5

Por fim, para acompanhar a solução, você pode plotar o gráfico da função juntamente com os polinômios de Taylor nas janelas especificadas para visualizar como as aproximações melhoram à medida que aumentamos o grau do polinômio.

Resposta

O polinômio de Taylor de 8º grau para , centrado em , é:

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