Encontre o polinômio de Taylor de grau, centrado em para a função . Faça os gráficos de e suas aproximações de Taylor na janela retangular por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o polinômio de Taylor de 8º grau para a função , centrado em . Além disso, precisamos fazer os gráficos da função e das aproximações de Taylor de graus 2, 4, 6 e 8 na janela por . Para resolver isso, vamos precisar saber como construir um polinômio de Taylor e entender um pouco sobre derivadas da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação de uma função suave por meio de um polinômio, que é centrada em um ponto específico, nesse caso . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau para uma função centrada em é:
Como vamos centrar em , a fórmula fica um pouco mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de até a oitava ordem e avaliá-las em :

Passo 4

Observando as derivadas, percebemos que apenas as derivadas pares de são diferentes de zero em . Isso simplifica nosso polinômio de Taylor, já que os termos ímpares vão ser zero.
Vamos montar o polinômio de Taylor de 8º grau:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando os fatoriais:

Passo 5

Por fim, para acompanhar a solução, você pode plotar o gráfico da função juntamente com os polinômios de Taylor nas janelas especificadas para visualizar como as aproximações melhoram à medida que aumentamos o grau do polinômio.

Resposta

O polinômio de Taylor de 8º grau para , centrado em , é:

Exercícios relacionados

Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para próximo a , vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que e suas primeiras derivadas tenham os mesmos valores em que e suas primeiras derivadas. Derivando repetidamente e fazendo , mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde . O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau de centrado em .
Encontre a aproximação quadrática para próxima a . Faça os gráficos de da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?

Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
, sabendo que o gráfico de é uma semireta e tal que
Especifique o dominio da função.