Encontre o polinômio de Taylor de
grau, centrado em
para a função
. Faça os gráficos de
e suas aproximações de Taylor
na janela retangular
por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o polinômio de Taylor de 8º grau para a função
, centrado em
. Além disso, precisamos fazer os gráficos da função e das aproximações de Taylor de graus 2, 4, 6 e 8 na janela
por
. Para resolver isso, vamos precisar saber como construir um polinômio de Taylor e entender um pouco sobre derivadas da função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação de uma função suave por meio de um polinômio, que é centrada em um ponto específico, nesse caso
. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
para uma função
centrada em
é:
Como vamos centrar em
, a fórmula fica um pouco mais simples.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
até a oitava ordem e avaliá-las em
:
Passo 4
Observando as derivadas, percebemos que apenas as derivadas pares de
são diferentes de zero em
. Isso simplifica nosso polinômio de Taylor, já que os termos ímpares vão ser zero.
Vamos montar o polinômio de Taylor de 8º grau:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando os fatoriais:
Passo 5
Por fim, para acompanhar a solução, você pode plotar o gráfico da função
juntamente com os polinômios de Taylor
nas janelas especificadas para visualizar como as aproximações melhoram à medida que aumentamos o grau do polinômio.
Resposta
O polinômio de Taylor de 8º grau para
, centrado em
, é:
Exercícios relacionados
Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para
próximo a
, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que
e suas primeiras
derivadas tenham os mesmos valores em
que
e suas primeiras
derivadas. Derivando repetidamente e fazendo
, mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde
. O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.
Encontre a aproximação quadrática para
próxima a
. Faça os gráficos de
da aproximação quadrática e da aproximação linear do Exemplo 2 da Seção 3.10 do livro na mesma tela. O que você conclui?
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
Especifique o dominio da função.