Seja
.
Calcule aproximações para os zeros de
no intervalo
utilizando o método de Newton com o algorítmo de Briot-Ruffini, com precisão
.
Calcule aproximações para os zeros de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o polinômio
e precisamos encontrar uma aproximação para um dos seus zeros no intervalo
. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica de aproximação iterativa para encontrar raízes de funções. Também vamos utilizar o Algoritmo de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos de divisão de polinômios. A precisão que buscamos é de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a derivada do polinômio
, já que o Método de Newton precisa dela. A derivada é:
Passo 3
Escolhemos um ponto inicial
dentro do intervalo
. Vamos testar
e verificar se está próximo de uma raiz.
Calculando
:
Como o valor é negativo, vamos tentar aumentar um pouco.
Passo 4
Vamos tentar
.
Calculando
:
Ainda é negativo, mas muito perto de zero! Vamos usar esse valor como nosso ponto inicial.
Passo 5
Aplicando a Fórmula de Newton:
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos a fórmula:
Passo 6
Vamos verificar se a precisão já está dentro de
. Calculamos
, que é ligeiramente maior que 0.01. Portanto, precisamos de mais uma iteração.
Passo 7
Calculamos
:
Calculamos a derivada em
:
Aplicamos a fórmula de Newton novamente:
Passo 8
Agora, verificamos a diferença:
, que em valor absoluto é 0.0086, menor que 0.01. Então, atingimos a precisão desejada!
Resposta
Aproximação para o zero de
no intervalo
é
com precisão de
.