Seja P3(x) = x^3 - 4x^2 + 2x - 1.
Calcule aproximações para os zeros de P3(x) no intervalo I = [3, 4] utilizando o método de Newton com o algorítmo de Briot-Ruffini, com precisão varepsilon = 0.01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o polinômio e precisamos encontrar uma aproximação para um dos seus zeros no intervalo . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica de aproximação iterativa para encontrar raízes de funções. Também vamos utilizar o Algoritmo de Briot-Ruffini para facilitar os cálculos de divisão de polinômios. A precisão que buscamos é de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a derivada do polinômio , já que o Método de Newton precisa dela. A derivada é:

Passo 3

Escolhemos um ponto inicial dentro do intervalo . Vamos testar e verificar se está próximo de uma raiz.
Calculando :
Como o valor é negativo, vamos tentar aumentar um pouco.

Passo 4

Vamos tentar .
Calculando :
Ainda é negativo, mas muito perto de zero! Vamos usar esse valor como nosso ponto inicial.

Passo 5

Aplicando a Fórmula de Newton:
Primeiro, calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 6

Vamos verificar se a precisão já está dentro de . Calculamos , que é ligeiramente maior que 0.01. Portanto, precisamos de mais uma iteração.

Passo 7

Calculamos :
Calculamos a derivada em :
Aplicamos a fórmula de Newton novamente:

Passo 8

Agora, verificamos a diferença: , que em valor absoluto é 0.0086, menor que 0.01. Então, atingimos a precisão desejada!

Resposta

Aproximação para o zero de no intervalo é com precisão de .

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