Encontre a área delimitada pelo círculo e a reta .

Passo 1

O exercício pede para encontrar a área delimitada pelo círculo e pela reta . Vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de áreas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos onde a reta corta o círculo. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelo círculo e pela reta.
A equação da reta é . Podemos isolar :
Agora, substituímos na equação do círculo:
Vamos expandir e simplificar:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Fatorando:
Assim, temos duas soluções:
Calculando para cada valor de :
  • Para :
    Ponto de interseção: (0, 3)
  • Para :
    Ponto de interseção: (3, 0)

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção (0, 3) e (3, 0), vamos visualizar a região delimitada pelo círculo e pela reta. A reta corta o círculo formando um setor circular e um triângulo. Para encontrar a área delimitada, vamos calcular a área do setor circular e subtrair a área do triângulo formado pelos pontos de interseção e o centro do círculo.

Passo 4

Primeiro, precisamos determinar o ângulo do setor circular. Observando os pontos de interseção (0, 3) e (3, 0), percebemos que eles formam um ângulo de 90 graus no centro do círculo, já que a reta é perpendicular à linha que liga os pontos ao centro (0,0).
Convertendo 90 graus para radianos:

Passo 5

A área do setor circular é dada pela fórmula:
Á
Onde (raio do círculo) e :
Á

Passo 6

Agora, calculamos a área do triângulo formado pelos pontos (0,0), (0,3) e (3,0). A base e a altura do triângulo são ambas iguais a 3 unidades.
Áâ

Passo 7

Para encontrar a área delimitada pelo círculo e pela reta, subtraímos a área do triângulo da área do setor circular:
Á

Resposta

A área delimitada pelo círculo e pela reta é unidades de área.

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