Encontre a área delimitada pelo círculo
e a reta
.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a área delimitada pelo círculo
e pela reta
. Vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica e cálculo de áreas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar os pontos onde a reta corta o círculo. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelo círculo e pela reta.
A equação da reta é
. Podemos isolar
:
Agora, substituímos
na equação do círculo:
Vamos expandir e simplificar:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Fatorando:
Assim, temos duas soluções:
Calculando
para cada valor de
:
-
Para
: Ponto de interseção: (0, 3) -
Para
: Ponto de interseção: (3, 0)
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção (0, 3) e (3, 0), vamos visualizar a região delimitada pelo círculo e pela reta. A reta corta o círculo formando um setor circular e um triângulo. Para encontrar a área delimitada, vamos calcular a área do setor circular e subtrair a área do triângulo formado pelos pontos de interseção e o centro do círculo.
Passo 4
Primeiro, precisamos determinar o ângulo do setor circular. Observando os pontos de interseção (0, 3) e (3, 0), percebemos que eles formam um ângulo de 90 graus no centro do círculo, já que a reta
é perpendicular à linha que liga os pontos ao centro (0,0).
Convertendo 90 graus para radianos:
Passo 5
A área do setor circular é dada pela fórmula:
Onde
(raio do círculo) e
:
Passo 6
Agora, calculamos a área do triângulo formado pelos pontos (0,0), (0,3) e (3,0). A base e a altura do triângulo são ambas iguais a 3 unidades.
Passo 7
Para encontrar a área delimitada pelo círculo e pela reta, subtraímos a área do triângulo da área do setor circular:
Resposta
A área delimitada pelo círculo
e pela reta
é
unidades de área.
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.