Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro
e pelo plano
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está limitado por um cilindro dado por
e por um plano definido por
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, porque estamos lidando com um cilindro circular.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a base do sólido. O cilindro
representa um cilindro circular com raio 3. Isso significa que a base do sólido no plano
é um círculo com raio 3. Para facilitar os cálculos, vamos converter para coordenadas polares, onde
,
e a área diferencial é
.
Passo 3
No plano
, o raio
varia de 0 a 3 (já que o raio do cilindro é 3) e o ângulo
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo. A altura do sólido em cada ponto
é determinada pela diferença entre o plano
e o plano
(a base). Em coordenadas polares, isso fica
.
Passo 4
Agora, podemos expressar o volume
do sólido como uma integral dupla:
Aqui,
representa a altura em cada ponto, e
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Integrando termo a termo:
- Para
, a integral é , avaliado de 0 a 3:
- Para
, a integral é , avaliado de 0 a 3:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Isso pode ser separado em duas integrais:
Calculando cada parte:
-
-
(pois a integral de uma função senoidal completa em um ciclo é zero)
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre a área delimitada pelo círculo
e a reta
.
Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro
e pela superfície cilíndrica
.
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sobre a região
.
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com densidade
.