Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro e pelo plano .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está limitado por um cilindro dado por e por um plano definido por . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, porque estamos lidando com um cilindro circular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a base do sólido. O cilindro representa um cilindro circular com raio 3. Isso significa que a base do sólido no plano é um círculo com raio 3. Para facilitar os cálculos, vamos converter para coordenadas polares, onde , e a área diferencial é .

Passo 3

No plano , o raio varia de 0 a 3 (já que o raio do cilindro é 3) e o ângulo varia de 0 a para cobrir todo o círculo. A altura do sólido em cada ponto é determinada pela diferença entre o plano e o plano (a base). Em coordenadas polares, isso fica .

Passo 4

Agora, podemos expressar o volume do sólido como uma integral dupla:
Aqui, representa a altura em cada ponto, e é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
  • Para , a integral é , avaliado de 0 a 3:
  • Para , a integral é , avaliado de 0 a 3:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Isso pode ser separado em duas integrais:
Calculando cada parte:
  • (pois a integral de uma função senoidal completa em um ciclo é zero)

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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