Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro e pela superfície cilíndrica .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o volume do sólido que está limitado pelo cilindro e pela superfície . Isso envolve calcular um volume usando integrais múltiplas, mais especificamente integrais duplas. Pra resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, já que o cilindro tem uma forma circular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos considerando. O cilindro define um círculo de raio 1 no plano xy, estendendo-se ao longo do eixo z. A superfície é um cilindro parabólico que se abre para baixo. Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, vamos integrar a função que representa a altura do sólido sobre a área circular definida pelo cilindro.

Passo 3

Vamos converter as equações para coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, e , e a equação do cilindro vira . A função fica . O volume será a integral dupla de sobre a região .

Passo 4

Escrevemos a integral em coordenadas polares:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 6

Agora, integramos em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Encontre a área delimitada pelo círculo e a reta .
Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro e pelo plano .