Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro
e pela superfície cilíndrica
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o volume do sólido que está limitado pelo cilindro
e pela superfície
. Isso envolve calcular um volume usando integrais múltiplas, mais especificamente integrais duplas. Pra resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, já que o cilindro tem uma forma circular.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos considerando. O cilindro
define um círculo de raio 1 no plano xy, estendendo-se ao longo do eixo z. A superfície
é um cilindro parabólico que se abre para baixo. Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, vamos integrar a função que representa a altura do sólido sobre a área circular definida pelo cilindro.
Passo 3
Vamos converter as equações para coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares,
e
, e a equação do cilindro vira
. A função
fica
. O volume será a integral dupla de
sobre a região
.
Passo 4
Escrevemos a integral em coordenadas polares:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 6
Agora, integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre a área delimitada pelo círculo
e a reta
.
Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro
e pelo plano
.