Encontre a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área de superfície do gráfico da função
na região onde
e
. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração de superfícies, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de superfície de uma função
. A fórmula geral é:
Onde
é a região sobre a qual estamos calculando.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeira derivada parcial em relação a
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área de superfície:
Passo 5
A região
é um quadrado onde
e
. Assim, os limites da integração são esses:
Passo 6
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então vamos simplificar usando mudança para coordenadas polares, mas como a região é um quadrado, fica mais complexo.
Outra abordagem é usar uma aproximação numérica ou reconhecer que a função sob a raiz é simétrica em
e
. Porém, para simplificação, vamos proceder com a integração direta.
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, mas isso ainda não resolve facilmente a integral. Portanto, reconhecemos que essa integral pode não ter uma solução elemental e é mais adequada para métodos numéricos.
Passo 8
Vamos então calcular a integral numericamente. Usando métodos de aproximação, como a regra dos trapézios ou Simpson, podemos obter uma estimativa para a área.
Por exemplo, utilizando integração numérica, a área aproximada é:
Resposta
A área de superfície do gráfico de
sobre a região
e
é aproximadamente 2,064 unidades quadradas.
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.
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.
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com densidade
.