Encontre a área de superfície do gráfico de sobre a região .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área de superfície do gráfico da função na região onde e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração de superfícies, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de superfície de uma função . A fórmula geral é:
Á
Onde é a região sobre a qual estamos calculando.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeira derivada parcial em relação a :
Primeira derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área de superfície:
Á

Passo 5

A região é um quadrado onde e . Assim, os limites da integração são esses:
Á

Passo 6

Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então vamos simplificar usando mudança para coordenadas polares, mas como a região é um quadrado, fica mais complexo.
Outra abordagem é usar uma aproximação numérica ou reconhecer que a função sob a raiz é simétrica em e . Porém, para simplificação, vamos proceder com a integração direta.

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a :
Fazendo a substituição , então , mas isso ainda não resolve facilmente a integral. Portanto, reconhecemos que essa integral pode não ter uma solução elemental e é mais adequada para métodos numéricos.

Passo 8

Vamos então calcular a integral numericamente. Usando métodos de aproximação, como a regra dos trapézios ou Simpson, podemos obter uma estimativa para a área.
Por exemplo, utilizando integração numérica, a área aproximada é:
Á

Resposta

A área de superfície do gráfico de sobre a região e é aproximadamente 2,064 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro e pelo plano .
Encontre a área delimitada pelo círculo e a reta .
Encontre o centro de massa da região com densidade .