integral-1^2(|x|+2) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral-1^2(|x|+2) , dx. Aqui, estamos trabalhando com funções de valor absoluto e cálculo de áreas sob curvas. Para resolver isso, precisamos entender como a função |x| se comporta e dividir a integral em partes que facilitem o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função |x|. O valor absoluto de x muda de comportamento em x = 0. Para x < 0, |x| = -x, e para x >= 0, |x| = x. Isso significa que precisamos dividir a integral nos intervalos onde a definição de |x| muda, ou seja, em [-1, 0] e [0, 2].

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral original dividindo-a nesses dois intervalos:
integral-1^2(|x|+2) , dx = integral-1^0(-x + 2) , dx + integral0^2(x + 2) , dx
Isso facilita o cálculo porque agora temos expressões lineares simples para integrar em cada intervalo.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral, integral-1^0(-x + 2) , dx:
integral (-x + 2) , dx = -12x^2 + 2x
Avaliado de -1 a 0:
[-12(0)^2 + 2(0)] - [-12(-1)^2 + 2(-1)] = 0 - [-12 - 2] = 52

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral, integral0^2(x + 2) , dx:
integral (x + 2) , dx = 12x^2 + 2x
Avaliado de 0 a 2:
[12(2)^2 + 2(2)] - [12(0)^2 + 2(0)] = [2 + 4] - 0 = 6

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
52 + 6 = 172
Portanto, o valor da integral é 172.

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