Encontre os pontos da elipse
que estão mais próximos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos da elipse
que estão mais próximos do ponto
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica e vamos precisar usar conceitos de minimização de distância e derivadas para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, é importante notar que a equação
na verdade representa uma parábola, não uma elipse. Mas vamos seguir com ela mesmo assim.
Queremos encontrar o ponto
na parábola que está mais próximo de
. Para isso, vamos minimizar a distância entre
e
.
Passo 3
A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Como estamos interessados em minimizar essa distância, podemos minimizar o quadrado da distância para facilitar os cálculos:
Passo 4
Sabemos que
está na parábola
, então podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na expressão de
:
Passo 5
Agora, expandimos a expressão para facilitar a derivação:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza
, calculamos a derivada em relação a
e igualamos a zero:
Passo 7
Com
, encontramos
usando a equação da parábola:
Resposta
O ponto da parábola
que está mais próximo de
é
.