Encontre a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v dados.
b) u=2 i+3 j, v=-i+2 j-2 k
Respostas b) AP=raiz101 u.a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área de um paralelogramo formado pelos vetores e . A matéria que vamos usar aqui é de geometria vetorial, especificamente sobre produto vetorial. Para resolver isso, precisamos saber como calcular o produto vetorial dos vetores e depois encontrar a magnitude desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os vetores que nos deram:
u = 2i + 3j
v = -i + 2j - 2k
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções de , e , respectivamente.

Passo 3

A área do paralelogramo formado por e é igual à magnitude do produto vetorial desses vetores. O produto vetorial nos dá um novo vetor que é perpendicular ao plano formado por e , e sua magnitude representa justamente a área que queremos.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 2 & 3 & 0 -1 & 2 & -2 . Usamos a seguinte fórmula para o produto vetorial:
u times v = i(3 cdot (-2) - 0 cdot 2) - j(2 cdot (-2) - 0 cdot (-1)) + k(2 cdot 2 - 3 cdot (-1))
Resolvendo o determinante:
= i(-6 - 0) - j(-4 - 0) + k(4 + 3)
= -6i + 4j + 7k

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor |u times v| = raiz(-6)^2 + 4^2 + 7^2 = raiz36 + 16 + 49 = raiz101 :

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

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