Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores u=(3,3,3), v=(1,0,4) e decida se o ângulo encontrado é agudo, obtuso ou reto.
Resposta: cos theta=153 raiz51, agudo

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa aqui é encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores: e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e a magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e u cdot v = (3)(1) + (3)(0) + (3)(4) = 3 + 0 + 12 = 15 . O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de cada vetor. A magnitude de um vetor | a | = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 é:
| u | = raiz3^2 + 3^2 + 3^2 = raiz9 + 9 + 9 = raiz27 = 3raiz3
Para | v | = raiz1^2 + 0^2 + 4^2 = raiz1 + 0 + 16 = raiz17 :
Para :

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = u cdot v| u | | v |
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = 153raiz3 times raiz17 = 153 raiz51 = 5raiz51
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:
cos theta = 5raiz5151

Passo 5

Por fim, para determinar se o ângulo é agudo, obtuso ou reto, analisamos o valor do cosseno:
  • Se , o ângulo é agudo.
  • Se , o ângulo é reto.
  • Se , o ângulo é obtuso.
Como é positivo, concluímos que o ângulo entre os vetores é agudo.

Resposta

cos theta = 153 raiz51, agudo

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