Encontre a área da região delimitada pelas curvas: x + y = 0, x = y^2 + 3y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas e . Isso envolve um pouco de geometria analítica e cálculo integral. Vamos usar integração para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que temos. A primeira equação é uma reta. Podemos rearranjar ela para .
A segunda equação é uma parábola que abre para a direita.

Passo 3

Para achar a área entre essas curvas, precisamos descobrir onde elas se interceptam, ou seja, os pontos onde e são iguais.

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões para :
Isso dá:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Esses são os pontos de interseção.

Passo 5

Agora que sabemos os valores de onde as curvas se cruzam, vamos determinar qual curva está à direita e qual está à esquerda nesse intervalo.
Para isso, escolhemos um valor de entre -4 e 0, por exemplo, :
  • Para : (reta)
  • Para : (parábola)
Claramente, a reta está à direita da parábola nesse intervalo.

Passo 6

A área entre duas curvas pode ser calculada pela integral da diferença das funções (função superior menos função inferior) em relação a , já que estamos integrando horizontalmente.
Então, a área é:
á
Simplificando a expressão dentro da integral:
á

Passo 7

Agora vamos integrar:
Integrando termo a termo:

Passo 8

Vamos calcular os valores da antiderivada nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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