Encontre a área da região delimitada pelas curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas
e
. Isso envolve um pouco de geometria analítica e cálculo integral. Vamos usar integração para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que temos. A primeira equação
é uma reta. Podemos rearranjar ela para
.
A segunda equação
é uma parábola que abre para a direita.
Passo 3
Para achar a área entre essas curvas, precisamos descobrir onde elas se interceptam, ou seja, os pontos onde
e
são iguais.
Passo 4
Vamos igualar as duas expressões para
:
Isso dá:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos de interseção.
Passo 5
Agora que sabemos os valores de
onde as curvas se cruzam, vamos determinar qual curva está à direita e qual está à esquerda nesse intervalo.
Para isso, escolhemos um valor de
entre -4 e 0, por exemplo,
:
- Para
: (reta) - Para
: (parábola)
Claramente, a reta está à direita da parábola nesse intervalo.
Passo 6
A área entre duas curvas pode ser calculada pela integral da diferença das funções (função superior menos função inferior) em relação a
, já que estamos integrando horizontalmente.
Então, a área
é:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora vamos integrar:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Vamos calcular os valores da antiderivada nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.