Encontre a área da região delimitada pelas curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelas curvas
,
,
(que é o eixo
) e
. Vamos usar cálculo integral para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam essa região:
-
: uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes. -
: uma parábola que abre para cima. -
: o eixo . -
: uma linha vertical onde é aproximadamente 2,718.
Vamos desenhar um gráfico rápido para visualizar onde essas curvas se encontram e qual é a região que queremos calcular.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Então, as curvas se cruzam quando
.
Passo 5
Então, sabemos que a região que estamos interessados está entre
e
. Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores nesse intervalo.
Passo 6
Primeiro, identificamos qual função está acima da outra entre
e
:
- Para
, está acima de , porque quando está entre 1 e .
Passo 7
Agora, a fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
Passo 8
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Passo 9
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral:
Passo 10
Resolvemos cada integral individualmente:
Passo 11
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 12
Calculamos cada parte:
Sabemos que
e
, então:
Passo 13
Simplificando:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.