Encontre a área da região delimitada pelas curvas: y = 1/x, y = x^2, y = 0, x = e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelas curvas , , (que é o eixo ) e . Vamos usar cálculo integral para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam essa região:
  • : uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes.
  • : uma parábola que abre para cima.
  • : o eixo .
  • : uma linha vertical onde é aproximadamente 2,718.
Vamos desenhar um gráfico rápido para visualizar onde essas curvas se encontram e qual é a região que queremos calcular.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Então, as curvas se cruzam quando .

Passo 5

Então, sabemos que a região que estamos interessados está entre e . Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores nesse intervalo.

Passo 6

Primeiro, identificamos qual função está acima da outra entre e :
  • Para , está acima de , porque quando está entre 1 e .

Passo 7

Agora, a fórmula para a área entre duas curvas e de a é:

Passo 8

Aplicando isso ao nosso caso, temos:

Passo 9

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral:

Passo 10

Resolvemos cada integral individualmente:

Passo 11

Agora, aplicamos os limites de integração:

Passo 12

Calculamos cada parte:
Sabemos que e , então:

Passo 13

Simplificando:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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