Encontre a área da região delimitada pelas curvas
e
, por dois métodos:
a)integrando com relação a
;
a)integrando com relação a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da região que fica entre as curvas
e
. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a integração em relação a
. Primeiro, precisamos identificar onde essas duas curvas se encontram, porque esses pontos vão ser os limites da nossa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso quer dizer que vamos resolver o sistema de equações formado por
e
. Vamos substituir a expressão de
da segunda equação na primeira para facilitar.
Passo 3
Substituindo
na primeira equação:
Agora, vamos expandir e simplificar:
Passo 4
Dividindo toda a equação por 4 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Com os valores de
e
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora que temos os limites de integração, vamos expressar a diferença entre as duas funções em termos de
. A área
será dada por:
Note que a equação
pode ser rearranjada para
e
. Porém, como estamos integrando em relação a
, e considerando a simetria, podemos simplificar a expressão para:
Integrando:
Calculando:
Para
:
Para
:
Então:
Como área não pode ser negativa, consideramos:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é igual a
unidades de área.