Encontre a área da região delimitada pelas curvas 4x + y^2 = 0 e y = 2 x + 4, por dois métodos:
a)integrando com relação a x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a área da região que fica entre as curvas e . Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a integração em relação a . Primeiro, precisamos identificar onde essas duas curvas se encontram, porque esses pontos vão ser os limites da nossa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso quer dizer que vamos resolver o sistema de equações formado por e . Vamos substituir a expressão de da segunda equação na primeira para facilitar.

Passo 3

Substituindo na primeira equação:
Agora, vamos expandir e simplificar:

Passo 4

Dividindo toda a equação por 4 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Com os valores de e , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora que temos os limites de integração, vamos expressar a diferença entre as duas funções em termos de . A área será dada por:
Note que a equação pode ser rearranjada para e . Porém, como estamos integrando em relação a , e considerando a simetria, podemos simplificar a expressão para:
Integrando:
Calculando:
Para :
Para :
Então:
Como área não pode ser negativa, consideramos:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é igual a unidades de área.

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