Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Então, calcule a área da região.
d) y = cos(x), y = sec^2(x), x = -pi/4, x = pi/4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região limitada pelas curvas , , e as retas verticais e . Nosso objetivo é decidir se vamos integrar em relação a ou a para calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual função está por cima e qual está por baixo no intervalo de a . Isso é importante porque a área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a de baixo.
Vamos comparar e . Lembrando que , então .
Vamos verificar alguns valores no intervalo:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Então, na maioria do intervalo, está acima de .

Passo 3

Agora que sabemos qual função está acima, vamos configurar a integral para calcular a área. A fórmula para a área entre duas curvas de a é:
Áçãçã
No nosso caso:
Á

Passo 4

Vamos resolver a integral separadamente para cada termo:
  1. Integral de :
    Sabemos que a integral de é , então:
  2. Integral de :
    Sabemos que a integral de é , então:

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
Á
Vamos calcular para e :
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 6

Agora, subtraímos os valores calculados:
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados