Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Então, calcule a área da região.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região limitada pelas curvas
,
, e as retas verticais
e
. Nosso objetivo é decidir se vamos integrar em relação a
ou a
para calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual função está por cima e qual está por baixo no intervalo de
a
. Isso é importante porque a área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a de baixo.
Vamos comparar
e
. Lembrando que
, então
.
Vamos verificar alguns valores no intervalo:
-
Em
: -
-
Em
: -
-
Em
: -
Então, na maioria do intervalo,
está acima de
.
Passo 3
Agora que sabemos qual função está acima, vamos configurar a integral para calcular a área. A fórmula para a área entre duas curvas de
a
é:
No nosso caso:
Passo 4
Vamos resolver a integral separadamente para cada termo:
-
Integral de
: Sabemos que a integral deé , então: -
Integral de
: Sabemos que a integral deé , então:
Passo 5
Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular para
e
:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 6
Agora, subtraímos os valores calculados:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.