Em qualquer ponto ( x, y ) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4 x - 5. Se a curva contém o ponto 3,7, ache sua equação.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. A questão nos diz que, em qualquer ponto (x, y) de uma curva, a inclinação da reta tangente é dada por . Queremos encontrar a equação dessa curva, sabendo que ela passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e integração, já que a inclinação da tangente representa a derivada da função.

Passo 2

Sabemos que a inclinação da reta tangente em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, temos:

Passo 3

Para encontrar a função y(x), precisamos integrar a expressão da derivada em relação a x. Vamos integrar ambos os lados:

Passo 4

A integral de em relação a x é simplesmente y, pois estamos voltando da derivada para a função original:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral à direita:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos a expressão geral da função:

Passo 7

Para determinar o valor de C, usamos o ponto que a curva passa, que é . Substituímos e na equação:

Resposta

A equação da curva é:

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