Em qualquer ponto (
) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a
. Se a curva contém o ponto
, ache sua equação.
Passo 1
Vamos entender o enunciado. A questão nos diz que, em qualquer ponto
de uma curva, a inclinação da reta tangente é dada por
. Queremos encontrar a equação dessa curva, sabendo que ela passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e integração, já que a inclinação da tangente representa a derivada da função.
Passo 2
Sabemos que a inclinação da reta tangente em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, temos:
Passo 3
Para encontrar a função
, precisamos integrar a expressão da derivada em relação a
. Vamos integrar ambos os lados:
Passo 4
A integral de
em relação a
é simplesmente
, pois estamos voltando da derivada para a função original:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral à direita:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, temos a expressão geral da função:
Passo 7
Para determinar o valor de
, usamos o ponto que a curva passa, que é
. Substituímos
e
na equação:
Resposta
A equação da curva é: