Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar duas igualdades envolvendo os complementos, a parte interna e o fecho de um conjunto nos números reais . Basicamente, estamos trabalhando com conceitos de topologia, como interior () e fecho (). Precisamos mostrar que:
e
Para isso, vamos usar definições básicas de interior, fecho e complemento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o complemento de um conjunto. Se , então é o conjunto de todos os números reais que não estão em .
Passo 3
Vamos lembrar o que é a parte interna de , ou seja, . A parte interna de é o maior conjunto aberto contido em . Basicamente, são todos os pontos de que têm um entorno totalmente dentro de .
Passo 4
Agora, o fecho de , representado por , é o menor conjunto fechado que contém . Isso inclui todos os pontos de mais seus pontos de acumulação (limites).
Passo 5
Vamos provar a primeira igualdade: .
Primeiro, mostramos que :
Se um ponto não está na parte interna de , então todo entorno desse ponto não está completamente dentro de , o que significa que ele é um ponto de acumulação de ou está em . Portanto, está no fecho de .
Agora, mostramos que :
Se um ponto está no fecho de , então todo entorno desse ponto intersecta , o que implica que ele não pode estar na parte interna de . Logo, está em .
Assim, .
Passo 6
Agora, vamos provar a segunda igualdade: .
Primeiro, mostramos que :
Se um ponto não está no fecho de , existe um entorno desse ponto que não intersecta . Ou seja, esse entorno está completamente dentro de , portanto, o ponto está na parte interna de .
Agora, mostramos que :
Se um ponto está na parte interna de , então existe um entorno totalmente contido em . Isso significa que esse ponto não pode ser um ponto de acumulação de , logo, não está no fecho de .