& (a) integral-1^2(x^3-2 x) d x & (b) integral1^8 raiz[3]x d x & (c) integral0^pi / 4 sec ^2 t d t & (d) integral0^1 cosh (t) d t & (e) integral1 / raiz3^raiz3 81+x^2 d x

Passo 1

E aí! Vamos resolver esses cinco exercícios de integrais juntos. A matéria aqui é Cálculo Integral, e vamos precisar usar algumas técnicas básicas de integração, como integrar polinômios, raízes, funções trigonométricas e funções hiperbólicas. Também vamos precisar conhecer algumas fórmulas específicas para cada tipo de integral.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): .

Passo 3

Para integrar um polinômio como esse, a gente integra cada termo separadamente. A integral de é .

Passo 4

Integrando , temos . Integrando , temos .

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor definido entre -1 e 2:
( x^44 - x^2 ) |-1^2

Passo 6

Substituindo os limites:
Para 2^44 - 2^2 = 164 - 4 = 4 - 4 = 0 :
(-1)^44 - (-1)^2 = 14 - 1 = -34
Para :

Passo 7

A diferença entre os valores:
0 - ( -34 ) = 34

Passo 8

Agora vamos para a parte (b): .

Passo 9

A raiz cúbica de x é . Para integrar , usamos .

Passo 10

Integrando x^4/34/3 = 34 x^4/3 :

Passo 11

Calculando de 1 a 8:
34 x^4/3 |1^8

Passo 12

Substituindo os limites:
Para 34 times 8^4/3 = 34 times (2^3)^4/3 = 34 times 2^4 = 34 times 16 = 12 :
34 times 1^4/3 = 34 times 1 = 34
Para :

Passo 13

A diferença:
12 - 34 = 484 - 34 = 454

Passo 14

Parte ©: .

Passo 15

A integral de é , já que a derivada de é .

Passo 16

Calculando de 0 a tan t |0^pi/4 :

Passo 17

Substituindo os limites:
Para tan ( pi4 ) = 1 :
tan(0) = 0
Para :

Passo 18

A diferença:
1 - 0 = 1

Passo 19

Parte (d): .

Passo 20

A função hiperbólica tem como integral , porque a derivada de é .

Passo 21

Calculando de 0 a 1:
sinh(t) |0^1

Passo 22

Substituindo os limites:
Para sinh(1) = e^1 - e^-12 :
sinh(0) = 0
Para :

Passo 23

A diferença:
e - 1e2 - 0 = e^2 - 12e

Passo 24

Parte (e): .

Passo 25

A integral de é . Então, a integral será .

Passo 26

Calculando de 8 ( arctan(raiz3) - arctan( 1raiz3 ) ) a :

Passo 27

Sabemos que:
arctan(raiz3) = pi3
arctan( 1raiz3 ) = pi6

Passo 28

Substituindo:
8 ( pi3 - pi6 ) = 8 ( pi6 ) = 8pi6 = 4pi3

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)

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