Resolva as integrais abaixo: integral 2(x-3)(x+3) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando frações parciais, que é uma técnica para simplificar frações complexas e facilitar a integração. Vamos precisar entender como decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador. Observamos que integral 2x^2 - 9 , dx é igual a (isso é conhecido como diferença de quadrados). Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, para simplificar a integração, vamos usar frações parciais. A ideia é expressar 2(x-3)(x+3) = Ax-3 + Bx+3 como a soma de duas frações mais simples:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 = A(x+3) + B(x-3) para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos resolver para e .

Passo 5

Para encontrar 2 = A(3 + 3) + B(3 - 3) Rightarrow 2 = 6A Rightarrow A = 26 = 13 e 2 = A(-3 + 3) + B(-3 - 3) Rightarrow 2 = -6B Rightarrow B = -26 = -13 , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Agora que temos 2(x-3)(x+3) = 13x-3 + -13x+3 = 13(x-3) - 13(x+3) e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2(x-3)(x+3) , dx = integral ( 13(x-3) - 13(x+3) ) , dx
Integrando cada parte:
= 13 ln|x-3| - 13 ln|x+3| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 13 ln|x-3| - 13 ln|x+3| + C é igual a:

Exercícios relacionados