Resolva as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando frações parciais, que é uma técnica para simplificar frações complexas e facilitar a integração. Vamos precisar entender como decompor a fração
em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador. Observamos que
é igual a
(isso é conhecido como diferença de quadrados). Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, para simplificar a integração, vamos usar frações parciais. A ideia é expressar
como a soma de duas frações mais simples:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos resolver para
e
.
Passo 5
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
-
Se
: -
Se
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 7
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada parte:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: