Resolva as integrais abaixo:
.
Passo 1
Então, a gente tem a integral
. Essa é uma integral que envolve funções racionais e raízes quadradas, então vamos usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Para resolver, precisamos entender como fazer substituições que facilitam a integração.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir
. Assim, a gente precisa encontrar
. Derivando
em relação a
, temos:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Mas ainda temos
na expressão, e precisamos expressar tudo em termos de
.
Passo 4
Sabemos que
, então podemos resolver para
:
Portanto,
. Porém, como isso complica, vamos buscar outra substituição mais eficaz. Vamos tentar
, ou seja,
.
Passo 5
Com
, derivando ambos os lados:
Agora, vamos substituir
e
na integral:
Simplificando:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Aqui, podemos usar uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Integrando:
Lembrando que
, então:
Passo 8
Agora, substituindo de volta
:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a
.