Resolva as integrais abaixo: integral 1x^2 raizx^2+4 d x.

Passo 1

Então, a gente tem a integral . Essa é uma integral que envolve funções racionais e raízes quadradas, então vamos usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Para resolver, precisamos entender como fazer substituições que facilitam a integração.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir du = 2x , dx . Assim, a gente precisa encontrar dx = du2x . Derivando em relação a , temos:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos substituir integral 1x^2 raizu cdot du2x = integral 12x^3 raizu , du e na integral original:
Mas ainda temos na expressão, e precisamos expressar tudo em termos de .

Passo 4

Sabemos que x^2 = u - 4 , então podemos resolver para :
Portanto, . Porém, como isso complica, vamos buscar outra substituição mais eficaz. Vamos tentar , ou seja, .

Passo 5

Com dx = -1t^2 dt , derivando ambos os lados:
integral 1(1t)^2 raiz(1t)^2 + 4 cdot (-1t^2) dt
Agora, vamos substituir integral 11t^2 raiz1t^2 + 4 cdot (-1t^2) dt = -integral t^2raiz1 + 4t^2t^2 cdot 1t^2 dt e -integral t^2raiz1 + 4t^2t cdot 1t^2 dt = -integral t^3raiz1 + 4t^2 cdot 1t^2 dt = -integral traiz1 + 4t^2 dt na integral:
Simplificando:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Aqui, podemos usar uma substituição simples: seja , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:
-integral traizv cdot dv8 = -18 integral v^-1/2 dv
Integrando:
-18 cdot 2v^1/2 + C = -14 raizv + C
Lembrando que -14 raiz1 + 4t^2 + C , então:

Passo 8

Agora, substituindo de volta -14 raiz1 + 4(1x)^2 + C = -14 raiz1 + 4x^2 + C = -14 cdot raizx^2 + 4x + C :
-raizx^2 + 44x + C
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a .

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