Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva . Estamos trabalhando com equações em coordenadas polares e vamos precisar usar cálculo de integrais para achar a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Passo 4
Agora, encontramos os valores de
que satisfazem . Sabemos que isso acontece em:
Passo 5
Com os limites de
identificados, vamos determinar qual curva está por dentro da outra nesse intervalo. Testando um ponto entre
e
, por exemplo
:
Então, a primeira curva está dentro da segunda nesse intervalo.
Passo 6
A fórmula para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui, e , e os limites de integração são
e
.
Passo 7
Vamos montar a integral:
Simplificando os termos dentro da integral:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 9
Integrando:
Então, a integral completa é:
Passo 10
Aplicando os limites de integração:
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
A área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva é
unidades de área.