Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
r = 3 sen(theta), r = 2 - sen(theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva . Estamos trabalhando com equações em coordenadas polares e vamos precisar usar cálculo de integrais para achar a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:

Passo 4

Agora, encontramos os valores de que satisfazem . Sabemos que isso acontece em:

Passo 5

Com os limites de identificados, vamos determinar qual curva está por dentro da outra nesse intervalo. Testando um ponto entre e , por exemplo :
Então, a primeira curva está dentro da segunda nesse intervalo.

Passo 6

A fórmula para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Á
Aqui, e , e os limites de integração são e .

Passo 7

Vamos montar a integral:
Simplificando os termos dentro da integral:
Subtraindo:

Passo 8

Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 9

Integrando:
Então, a integral completa é:

Passo 10

Aplicando os limites de integração:
Calculando os valores:
Substituindo:
Á

Resposta

A área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva é unidades de área.

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