Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação da difusão:
com as condições de contorno:
e a condição inicial:
Vamos precisar usar métodos de solução de equações diferenciais parciais, especificamente a separação de variáveis e séries de Fourier para resolver essa equação.

Passo 2

Para resolver a equação, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de funções que satisfazem as condições de contorno. A forma que vamos utilizar é:
Justificativa: As funções seno naturalmente satisfazem as condições de contorno e , já que e para qualquer inteiro .

Passo 3

Agora, precisamos substituir a forma assumida de na equação da difusão e determinar as equa��ões que regem as funções .
Substituindo na equação:
Calculando as derivadas:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo em , os coeficientes das funções seno devem ser iguais. Ou seja, para cada :

Passo 4

Agora, vamos resolver as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) para cada .
Para :
Esta é uma EDO linear de primeira ordem. A solução geral é:
Aplicando a condição inicial , temos:
Portanto:
Para :
A solução geral é:
Aplicando a condição inicial :

Passo 5

Com as funções determinadas, podemos montar a solução final :
Simplificando:
Podemos verificar que essa solução satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno fornecidas.

Resposta

A solução da equação da difusão é:

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Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Encontre a área da regiāo que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
er
resp.
Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Com . Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.