Resolva a equação da difusão partial upartial t-D partial^2 upartial x^2=sin (pi xL), sujeita às condições:
  1. u(0, t)=0
  2. u(L, t)=0
  3. u(x, 0)=0 ; x in(0, L)
    Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para u(x, t) ? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções bn(t); c) Resolva as EDOs para bn(t) e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação da difusão:
partial upartial t - D partial^2 upartial x^2 = sin (pi xL)
com as condições de contorno:
  1. u(x, 0) = 0 para x in (0, L)
e a condição inicial:
Vamos precisar usar métodos de solução de equações diferenciais parciais, especificamente a separação de variáveis e séries de Fourier para resolver essa equação.

Passo 2

Para resolver a equação, vamos assumir que a solução u(x, t) = sumn=1^infty bn(t) sin(npi xL) pode ser expressa como uma série de funções que satisfazem as condições de contorno. A forma que vamos utilizar é:
Justificativa: As funções seno naturalmente satisfazem as condições de contorno e , já que e para qualquer inteiro .

Passo 3

Agora, precisamos substituir a forma assumida de partialpartial t ( sumn=1^infty bn(t) sin(npi xL) ) - D partial^2partial x^2 ( sumn=1^infty bn(t) sin(npi xL) ) = sin(pi xL) na equação da difusão e determinar as equa��ões que regem as funções sumn=1^infty dbndt sin(npi xL) + D sumn=1^infty (npiL)^2 bn(t) sin(npi xL) = sin(pi xL) .
Substituindo sumn=1^infty ( dbndt + D (npiL)^2 bn(t) ) sin(npi xL) = sin(pi xL) na equação:
dbndt + D (npiL)^2 bn(t) = 1, & se n = 1 0, & se n >= 2
Calculando as derivadas:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo em , os coeficientes das funções seno devem ser iguais. Ou seja, para cada :

Passo 4

Agora, vamos resolver as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) para cada db1dt + D (piL)^2 b1(t) = 1 .
Para b1(t) = 1D (piL)^2 + C e^-D (piL)^2 t :
b1(0) = 1D (piL)^2 + C = 0 implies C = -1D (piL)^2
Esta é uma EDO linear de primeira ordem. A solução geral é:
b1(t) = 1D (piL)^2 (1 - e^-D (piL)^2 t)
Aplicando a condição inicial dbndt + D (npiL)^2 bn(t) = 0 , temos:
bn(t) = C e^-D (npiL)^2 t
Portanto:
bn(0) = C = 0 implies bn(t) = 0 para n >= 2
Para :
A solução geral é:
Aplicando a condição inicial :

Passo 5

Com as funções u(x, t) = b1(t) sin(pi xL) + sumn=2^infty 0 cdot sin(npi xL) = 1D (piL)^2 (1 - e^-D (piL)^2 t) sin(pi xL) determinadas, podemos montar a solução final u(x, t) = L^2D pi^2 (1 - e^-D pi^2 tL^2) sin(pi xL) :
Simplificando:
Podemos verificar que essa solução satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno fornecidas.

Resposta

A solução da equação da difusão é:
u(x, t) = L^2D pi^2 (1 - e^-D pi^2 tL^2) sin(pi xL)

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