Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para
? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções
; c) Resolva as EDOs para
e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação da difusão:
com as condições de contorno:
e a condição inicial:
Vamos precisar usar métodos de solução de equações diferenciais parciais, especificamente a separação de variáveis e séries de Fourier para resolver essa equação.
Passo 2
Para resolver a equação, vamos assumir que a solução
pode ser expressa como uma série de funções que satisfazem as condições de contorno. A forma que vamos utilizar é:
Justificativa: As funções seno naturalmente satisfazem as condições de contorno
e
, já que
e
para qualquer inteiro
.
Passo 3
Agora, precisamos substituir a forma assumida de
na equação da difusão e determinar as equa��ões que regem as funções
.
Substituindo
na equação:
Calculando as derivadas:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
em
, os coeficientes das funções seno devem ser iguais. Ou seja, para cada
:
Passo 4
Agora, vamos resolver as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) para cada
.
Para
:
Esta é uma EDO linear de primeira ordem. A solução geral é:
Aplicando a condição inicial
, temos:
Portanto:
Para
:
A solução geral é:
Aplicando a condição inicial
:
Passo 5
Com as funções
determinadas, podemos montar a solução final
:
Simplificando:
Podemos verificar que essa solução satisfaz a equação diferencial e as condições de contorno fornecidas.
Resposta
A solução da equação da difusão é:
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Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para? Justifique sua resposta; b) Determine as equações que regem as funções ; c) Resolva as EDOs para e determine as contantes de integração; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Encontre a área da regiāo que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
er
resp.
resp.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Com. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para ? Justifique sua resposta; b) Determine a função que atende as condições de contorno?; c) Qual a equação diferencial e as condições iniciais da função uh que é homogênea no contorno?; d) Monte a solução final e mostre que ela satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.
Resolva a equação da difusão
, sujeita às condições:
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Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Qual forma devemos utilizar para? Justifique sua resposta; b) Com o conhecimento das soluções das questgões anteriores da lista, mostre que a forma escolhida satisfaz a equação diferencial e as condições do problema.