Encontre a área da região limitada pela curva e pelo eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pela curva e pelo eixo . Isso está relacionado ao cálculo de integrais na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar encontrar onde a curva cruza o eixo e, em seguida, calcular a integral entre esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a curva cruza o eixo . Isso acontece quando . Então, resolvemos a equação:
Essa é uma equação quadrática. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, as soluções são:
Portanto, a curva cruza o eixo nos pontos e .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, podemos calcular a área entre a curva e o eixo integrando a função de até .
A fórmula para a área é:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Integrando cada termo:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 1 a 3:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pela curva e pelo eixo é unidades de área.

Exercícios relacionados

Represente plano complexo sabendo que
Identifique a região do plano complexo cujos pontos satisfazem as inequações abaixo:
Seja . Calcule os valores de x e que satisfazem a equação . Represente as soluções no plano complexo. Indique no plano complexo as medidas de e sabendo que .
Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a equação abaixo: