Seja . Calcule os valores de x e que satisfazem a equação . Represente as soluções no plano complexo. Indique no plano complexo as medidas de e sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem um número complexo e precisa encontrar os valores de e que satisfazem a equação . Além disso, vamos representar essas soluções no plano complexo e determinar as medidas de e sabendo que . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como conjugado, forma algébrica e forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, é o conjugado de , ou seja, . Então, substituindo na equação:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos eliminar o denominador multiplicando os dois lados por :
Agora, vamos multiplicar os termos do lado direito:
Lembrando que , simplificando:
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
Parte real:
Parte imaginária:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, rearranjamos a primeira equação:
çã
Agora, rearranjamos a segunda equação:
çã

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações usando a Equação 2 para expressar em termos de :
Agora, substituímos na Equação 1:
Agora que temos , vemos que:

Passo 6

Com os valores de e encontrados, temos:
Agora, vamos representar essa solução no plano complexo e encontrar e .
Para a forma polar , temos:
Para , que é o ângulo, usamos:

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são e . No plano complexo, o número é representado pelo ponto . As medidas na forma polar são e radianos.

Exercícios relacionados

Encontre a área da região limitada pela curva e pelo eixo .
Represente plano complexo sabendo que
Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a equação abaixo: