Seja
. Calcule os valores de x e
que satisfazem a equação
. Represente as soluções no plano complexo. Indique no plano complexo as medidas de
e
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem um número complexo
e precisa encontrar os valores de
e
que satisfazem a equação
. Além disso, vamos representar essas soluções no plano complexo e determinar as medidas de
e
sabendo que
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como conjugado, forma algébrica e forma polar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui,
é o conjugado de
, ou seja,
. Então, substituindo na equação:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos eliminar o denominador multiplicando os dois lados por
:
Agora, vamos multiplicar os termos do lado direito:
Lembrando que
, simplificando:
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos igualar as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
Parte real:
Parte imaginária:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, rearranjamos a primeira equação:
Agora, rearranjamos a segunda equação:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações usando a Equação 2 para expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na Equação 1:
Agora que temos
, vemos que:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, temos:
Agora, vamos representar essa solução no plano complexo e encontrar
e
.
Para a forma polar
, temos:
Para
, que é o ângulo, usamos:
Resposta
Os valores que satisfazem a equação são
e
. No plano complexo, o número
é representado pelo ponto
. As medidas na forma polar são
e
radianos.
Exercícios relacionados
Encontre a área da região limitada pela curva
e pelo eixo
.
Represente
plano complexo sabendo que
Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a equação abaixo: