Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a equação abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que representar no plano complexo todos os pontos
que satisfazem a equação:
Aqui, estamos lidando com números complexos (
) e usando propriedades de partes reais e conjugadas. Vamos precisar lembrar como trabalhar com o conjugado de um número complexo e como extrair a parte real de uma expressão.
Passo 2
Vamos começar definindo
como um número complexo qualquer:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
.
Passo 3
Em seguida, encontramos o conjugado de
:
O conjugado troca o sinal da parte imaginária.
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão
:
Simplificamos multiplicando
por
.
Passo 5
Extraímos a parte real da expressão
:
A parte real é composta pelos termos que não têm
.
Passo 6
Substituímos a parte real na equação original:
Isso significa que o valor absoluto de
é igual a 3.
Passo 7
Resolvemos a equação
:
Isso nos dá duas possibilidades para
.
Passo 8
Resolvemos cada uma das equações:
Encontramos os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 9
Interpretação no plano complexo:
Todos os números complexos que satisfazem a equação têm a parte imaginária
ou
. Isso significa que eles estão localizados nas retas horizontais correspondentes a esses valores de
.
Todos os números complexos
Resposta
Os pontos que satisfazem a equação estão nas retas horizontais
e
no plano complexo.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule os valores de x e
que satisfazem a equação
. Represente as soluções no plano complexo. Indique no plano complexo as medidas de
e
sabendo que
.
Encontre a área da região limitada pela curva
e pelo eixo
.
Encontre a área da região limitada pelas curvas
e
.