Encontre a área da região limitada pelas curvas y^2 = x e x = 4.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas (que é uma parábola) e pela reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular a área entre essas duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que queremos calcular. A curva é uma parábola que abre para a direita, enquanto a reta é uma linha vertical que corta a parábola. A área que queremos encontrar está entre essa parábola e a reta vertical.

Passo 3

Para calcular a área, precisamos determinar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso nos dará os limites de integração. Igualando as duas equações:
Resolvendo para :
Então, os limites de integração para serão de a .

Passo 4

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença entre a reta e a parábola em relação a . Portanto:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
  1. Integral de em relação a :
  1. Integral de em relação a :

Resposta

Subtraindo as duas integrais:
Então, a área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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