Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando tende ao infinito, a expressão se aproxima de 4. O assunto aqui é cálculo de limites de sequências, e vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite para sequências. Dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Em símbolos:
Passo 3
No nosso caso, e . Então, queremos mostrar que:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 5
Agora, queremos que essa fração seja menor que :
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar :
Passo 6
Então, podemos escolher como:
Assim, para todo , teremos que , satisfazendo a definição de limite.
Resposta
Portanto, pelo critério da definição de limite, mostramos que .