Prove, usando a definição, que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando tende ao infinito, a expressão se aproxima de 4. O assunto aqui é cálculo de limites de sequências, e vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite para sequências. Dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Em símbolos:

Passo 3

No nosso caso, e . Então, queremos mostrar que:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 5

Agora, queremos que essa fração seja menor que :
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar :

Passo 6

Então, podemos escolher como:
Assim, para todo , teremos que , satisfazendo a definição de limite.

Resposta

Portanto, pelo critério da definição de limite, mostramos que .

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Explique por que a função é diferenciável. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de .
Encontre a área da região limitada pelas curvas e .
Prove, usando a definição, que:
Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. ;