Prove, usando a definição, que: lim n +infty 8 n2 n+3=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição de limite, que quando tende ao infinito, a expressão se aproxima de 4. O assunto aqui é cálculo de limites de sequências, e vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite para sequências. Dizemos que forall varepsilon > 0, exists N in N tal que n > N Rightarrow |an - L| < varepsilon se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Em símbolos:

Passo 3

No nosso caso, forall varepsilon > 0, exists N in N tal que n > N Rightarrow | 8n2n + 3 - 4 | < varepsilon e . Então, queremos mostrar que:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| 8n2n + 3 - 4 | = | 8n - 4(2n + 3)2n + 3 | = | 8n - 8n - 122n + 3 | = | -122n + 3 | = 122n + 3

Passo 5

Agora, queremos que essa fração seja menor que 122n + 3 < varepsilon :
2n + 3 > 12varepsilon 2n > 12varepsilon - 3 n > 12 ( 12varepsilon - 3 )
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar :

Passo 6

Então, podemos escolher N = 12 ( 12varepsilon - 3 ) como:
Assim, para todo , teremos que , satisfazendo a definição de limite.

Resposta

Portanto, pelo critério da definição de limite, mostramos que .

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