Se
é o potencial elétrico de um ponto
do plano
, as curvas de nível de
são chamadas curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas equipotenciais de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre curvas equipotenciais no plano xy. A ideia é desenhar essas curvas para a função de potencial elétrico dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas equipotenciais e como identificá-las usando a equação do potencial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são curvas equipotenciais. Elas são como “linhas de igual potencial” no espaço, ou seja, todos os pontos em uma curva equipotencial têm o mesmo valor de potencial elétrico. No nosso caso, queremos encontrar essas curvas para diferentes valores de
.
Passo 3
Para achar as curvas equipotenciais, vamos fixar o potencial
como uma constante
. Assim, temos:
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre
e
que satisfaça essa equação para diferentes valores de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação para
e
. Começamos invertendo ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Rearranjando a equação para deixar
de um lado, temos:
Essa é a equação de um círculo no plano xy com raio
, onde:
Passo 6
Então, cada curva equipotencial é um círculo com centro na origem
e raio dependendo do valor de
. À medida que
varia, o raio do círculo muda. Vale lembrar que para que o raio seja real, precisamos que:
Passo 7
Resumindo, as curvas equipotenciais para a função dada são círculos concêntricos ao redor da origem, com raios que diminuem conforme o valor de
aumenta.
Resposta
As curvas equipotenciais são círculos centrados na origem
no plano xy, com raios iguais a
. Ou seja, cada curva é um círculo concêntrico cuja dimensão depende do valor constante
do potencial elétrico
.
Exercícios relacionados
Encontre
nas equações logarítmicas abaixo
Faça o estudo de sinal da função
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Encontre a área da região limitada pelas curvas
e
.