Se é o potencial elétrico de um ponto do plano , as curvas de nível de são chamadas curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas equipotenciais de

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre curvas equipotenciais no plano xy. A ideia é desenhar essas curvas para a função de potencial elétrico dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas equipotenciais e como identificá-las usando a equação do potencial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são curvas equipotenciais. Elas são como “linhas de igual potencial” no espaço, ou seja, todos os pontos em uma curva equipotencial têm o mesmo valor de potencial elétrico. No nosso caso, queremos encontrar essas curvas para diferentes valores de .

Passo 3

Para achar as curvas equipotenciais, vamos fixar o potencial como uma constante . Assim, temos:
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre e que satisfaça essa equação para diferentes valores de .

Passo 4

Vamos resolver a equação para e . Começamos invertendo ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Rearranjando a equação para deixar de um lado, temos:
Essa é a equação de um círculo no plano xy com raio , onde:

Passo 6

Então, cada curva equipotencial é um círculo com centro na origem e raio dependendo do valor de . À medida que varia, o raio do círculo muda. Vale lembrar que para que o raio seja real, precisamos que:

Passo 7

Resumindo, as curvas equipotenciais para a função dada são círculos concêntricos ao redor da origem, com raios que diminuem conforme o valor de aumenta.

Resposta

As curvas equipotenciais são círculos centrados na origem no plano xy, com raios iguais a . Ou seja, cada curva é um círculo concêntrico cuja dimensão depende do valor constante do potencial elétrico .

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Faça o estudo de sinal da função
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
Encontre a área da região limitada pelas curvas e .