Explique por que a função é diferenciável. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem a função e precisa explicar por que ela é diferenciável. Além disso, temos que encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável se ela possui derivadas parciais contínuas em um ponto. Olhando para , podemos ver que ela é composta por funções polinomiais e trigonométricas, que são suaves e contínuas em todos os pontos. Portanto, é diferenciável em todo o seu domínio.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a derivada segunda em relação a :
Depois, a derivada mista, primeiro em e depois em :
A derivada mista na ordem inversa, primeiro em e depois em :
E por fim, a derivada segunda em relação a :

Resposta

Todas as derivadas parciais de segunda ordem de são:

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Prove, usando a definição, que:
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