Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x^2 + 1 e y = 2x - 2 entre x = -1 ex = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas e no intervalo de até . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das duas funções está por cima da outra nesse intervalo. Olha só:
Para :
Para :
Vemos que em , a função está acima de , e em , também está acima. Então, é a função de cima nesse intervalo.

Passo 3

Agora que sabemos qual função está acima, vamos montar a expressão para a área entre elas. A fórmula para a área entre duas curvas de até é:
Aqui, e , com e . Então, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 2:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e entre e é 9 unidades quadradas.

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