Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
arg(z̅) = -arg(1/z)

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: . Essa questão está relacionada ao estudo dos números complexos, especificamente aos argumentos de um número complexo. Para resolver, vamos precisar entender o que significam o argumento de um número complexo, o conjugado de um número complexo e como estes se comportam em operações como a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um número complexo , o conjugado de z, representado por , é . O argumento de z, denotado por , é o ângulo formado entre o eixo real positivo e a representação geométrica de z no plano complexo.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da afirmação separadamente:
  1. Argumento do conjugado: . Quando tomamos o conjugado de z, refletimos o ponto de z em relação ao eixo real. Geometricamente, isso significa que o ângulo do conjugado será o negativo do ângulo original. Portanto, .
  2. Argumento da inversão: . A inversão de z no plano complexo resulta em um número cujo argumento é o negativo do argumento original. Então, .

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas expressões:
Portanto, a afirmação original se traduz em . Isso só é verdade se , ou seja, quando z está no eixo real positivo.

Resposta

A afirmação é falsa. De fato, e , portanto . A igualdade original só seria verdadeira se , ou seja, quando z é um número real positivo.

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