Responda se afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas e no caso de serem falsas corrija ou complemente para que se torne verdadeira.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: . Essa questão está relacionada ao estudo dos números complexos, especificamente aos argumentos de um número complexo. Para resolver, vamos precisar entender o que significam o argumento de um número complexo, o conjugado de um número complexo e como estes se comportam em operações como a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um número complexo , o conjugado de , representado por , é . O argumento de , denotado por , é o ângulo formado entre o eixo real positivo e a representação geométrica de no plano complexo.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da afirmação separadamente:
Argumento do conjugado: . Quando tomamos o conjugado de , refletimos o ponto de em relação ao eixo real. Geometricamente, isso significa que o ângulo do conjugado será o negativo do ângulo original. Portanto, .
Argumento da inversão: . A inversão de no plano complexo resulta em um número cujo argumento é o negativo do argumento original. Então, .
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas expressões:
Portanto, a afirmação original se traduz em . Isso só é verdade se , ou seja, quando está no eixo real positivo.
Resposta
A afirmação é falsa. De fato, e , portanto . A igualdade original só seria verdadeira se , ou seja, quando é um número real positivo.