Escreva a soma parcial
da série
Calcule a soma dos
termos de
. Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestão:
.
Calcule a soma dos
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a soma parcial
de uma série infinita definida por
Além disso, precisa descobrir se essa série converge e se o termo geral tende a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries telescópicas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial
. Ela representa a soma dos primeiros
termos da série. No nosso caso, cada termo da série é
, que foi reescrito como
.
Passo 3
Agora, vamos somar esses termos de
até
(onde
será substituído por
depois):
Aqui, note que estamos usando um índice diferente
para evitar confusão com o limite superior da soma.
Passo 4
Vamos fazer a soma real:
Perceba que quase todos os termos se cancelam! Isso é típico de uma série telescópica, onde muitos termos internos se eliminam, sobrando apenas os termos das “pontas”.
Passo 5
Sabemos que
, então a soma parcial fica:
Substituindo
por
, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar a convergência da série. Para isso, observamos o comportamento de
conforme
tende ao infinito:
Como o limite da soma parcial tende ao infinito, a série não converge.
Passo 7
Por último, vamos verificar se o termo geral da série tende a zero:
Então, o termo geral realmente tende a zero.
Resposta
A soma dos
termos é
. A série não converge e o termo geral da série tende a zero.