Escreva a soma parcial sn da série
sumn=1^infty ln (1+1n) =ln (n+1n)
=ln (n+1)-ln (n)
Calcule a soma dos n termos de sn. Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestão: ln (a / b)=ln a-ln b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a soma parcial sumn=1^infty ln (1+1n) = ln (n+1n) = ln (n+1) - ln (n) de uma série infinita definida por
Além disso, precisa descobrir se essa série converge e se o termo geral tende a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries telescópicas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial . Ela representa a soma dos primeiros termos da série. No nosso caso, cada termo da série é , que foi reescrito como .

Passo 3

Agora, vamos somar esses termos de sk = summ=1^k ( ln (m+1) - ln (m) ) até (onde será substituído por depois):
Aqui, note que estamos usando um índice diferente para evitar confusão com o limite superior da soma.

Passo 4

Vamos fazer a soma real:
sk &= (ln 2 - ln 1) + (ln 3 - ln 2) + (ln 4 - ln 3) + dots + (ln (k+1) - ln k) &= ln (k+1) - ln 1
Perceba que quase todos os termos se cancelam! Isso é típico de uma série telescópica, onde muitos termos internos se eliminam, sobrando apenas os termos das “pontas”.

Passo 5

Sabemos que sk = ln (k+1) , então a soma parcial fica:
sn = ln (n+1)
Substituindo por , temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar a convergência da série. Para isso, observamos o comportamento de limn to infty sn = limn to infty ln (n+1) = infty conforme tende ao infinito:
Como o limite da soma parcial tende ao infinito, a série não converge.

Passo 7

Por último, vamos verificar se o termo geral da série tende a zero:
limn to infty ln (1+1n) = ln (1 + 0) = ln (1) = 0
Então, o termo geral realmente tende a zero.

Resposta

A soma dos termos é . A série não converge e o termo geral da série tende a zero.

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