Escreva a soma parcial da série
Calcule a soma dos termos de . Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestão: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a soma parcial de uma série infinita definida por
Além disso, precisa descobrir se essa série converge e se o termo geral tende a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries telescópicas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial . Ela representa a soma dos primeiros termos da série. No nosso caso, cada termo da série é , que foi reescrito como .
Passo 3
Agora, vamos somar esses termos de até (onde será substituído por depois):
Aqui, note que estamos usando um índice diferente para evitar confusão com o limite superior da soma.
Passo 4
Vamos fazer a soma real:
Perceba que quase todos os termos se cancelam! Isso é típico de uma **série telescópica**, onde muitos termos internos se eliminam, sobrando apenas os termos das "pontas".
Passo 5
Sabemos que , então a soma parcial fica:
Substituindo por , temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar a convergência da série. Para isso, observamos o comportamento de conforme tende ao infinito:
Como o limite da soma parcial tende ao infinito, a série **não converge**.
Passo 7
Por último, vamos verificar se o termo geral da série tende a zero:
Então, o termo geral realmente tende a zero.
Resposta
A soma dos termos é . A série **não converge** e o termo geral da série tende a zero.