Escreva a soma parcial da série Calcule a soma dos termos de . Essa série converge? O termo geral da série tende a zero? Sugestão: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a soma parcial de uma série infinita definida por Além disso, precisa descobrir se essa série converge e se o termo geral tende a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries telescópicas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial . Ela representa a soma dos primeiros termos da série. No nosso caso, cada termo da série é , que foi reescrito como .

Passo 3

Agora, vamos somar esses termos de até (onde será substituído por depois): Aqui, note que estamos usando um índice diferente para evitar confusão com o limite superior da soma.

Passo 4

Vamos fazer a soma real: Perceba que quase todos os termos se cancelam! Isso é típico de uma **série telescópica**, onde muitos termos internos se eliminam, sobrando apenas os termos das "pontas".

Passo 5

Sabemos que , então a soma parcial fica: Substituindo por , temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar a convergência da série. Para isso, observamos o comportamento de conforme tende ao infinito: Como o limite da soma parcial tende ao infinito, a série **não converge**.

Passo 7

Por último, vamos verificar se o termo geral da série tende a zero: Então, o termo geral realmente tende a zero.

Resposta

A soma dos termos é . A série **não converge** e o termo geral da série tende a zero.

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