Encontre a área da região limitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas e . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a área entre curvas. Pra resolver, vamos precisar saber como integrar funções e identificar os pontos onde as curvas se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando . Vamos resolver essa equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, ou . Esses são os pontos de interseção das curvas.

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram em e , precisamos identificar qual curva está por cima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Como , a curva está acima de entre 0 e 1.

Passo 4

Para achar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da curva de cima menos a curva de baixo, de a :
Á
Isso significa que vamos calcular a integral de no intervalo de 0 a 1.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, mas como estamos calculando uma área definida, ela se cancela.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a equação abaixo:
Identifique a região do plano complexo cujos pontos satisfazem as inequações abaixo:
Seja . Expresse as quantidades abaixo em termos de e .