Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
(No primeiro quadrante)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
e pela reta
, tudo no primeiro quadrante. Isso envolve um pouco de cálculo integral, especialmente integrando as funções nos intervalos certos para achar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram no primeiro quadrante. Isso significa que vamos considerar apenas valores de
e
positivos. Precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas para saber os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar onde
e
se cruzam:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Então,
Substituindo
em
:
Portanto, as curvas se intersectam em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
e
se cruzam:
Então,
E onde
e
se encontram:
Então,
Portanto, temos três pontos importantes de interseção:
,
e
.
Passo 5
Agora, para achar a área da região limitada por essas curvas, precisamos dividir a área em duas partes para facilitar a integração:
-
De
a , as curvas que limitam a região são e . -
De
a , as curvas que limitam a região são e .
Passo 6
Vamos calcular a área da primeira parte, de
a
:
A área
é dada por:
Integrando termo a termo:
Resolvendo:
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos calcular a área da segunda parte, de
a
:
A área
é dada por:
Integrando termo a termo:
Resolvendo:
Calculando:
Passo 8
Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total
:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
de
até
Avalie as seguintes integrais definidas.