Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = x^2, y = 1/x, y = 4 (No primeiro quadrante)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas , e pela reta , tudo no primeiro quadrante. Isso envolve um pouco de cálculo integral, especialmente integrando as funções nos intervalos certos para achar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram no primeiro quadrante. Isso significa que vamos considerar apenas valores de e positivos. Precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas para saber os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar onde e se cruzam:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Então,
Substituindo em :
Portanto, as curvas se intersectam em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde e se cruzam:
Então,
(considerando apenas o positivo no primeiro quadrante)
E onde e se encontram:
Então,
Portanto, temos três pontos importantes de interseção: , e .

Passo 5

Agora, para achar a área da região limitada por essas curvas, precisamos dividir a área em duas partes para facilitar a integração:
  1. De a , as curvas que limitam a região são e .
  2. De a , as curvas que limitam a região são e .

Passo 6

Vamos calcular a área da primeira parte, de a :
A área é dada por:
Integrando termo a termo:
Resolvendo:
Calculando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a área da segunda parte, de a :
A área é dada por:
Integrando termo a termo:
Resolvendo:
Calculando:

Passo 8

Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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