Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
de
até
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas
e
, no intervalo de
até
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integração, que é uma ferramenta para achar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas curvas. A curva
é uma exponencial decrescente, e
é uma reta que sobe. A gente quer saber onde essas duas curvas se cruzam no intervalo dado para determinar quais estão por cima e por baixo.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolver essa equação algebricamente é complicado, então vamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar que, dentro de
até
, elas se cruzam exatamente nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, precisamos saber qual das duas funções está por cima da outra nesse intervalo. Vamos testar com um valor, por exemplo,
:
Elas são iguais em
. Vamos tentar
:
Aqui,
está acima de
.
Passo 5
Como
está acima de
no intervalo de
a
, a área entre elas pode ser encontrada subtraindo-se a integral de
da integral de
nesse intervalo.
Passo 6
Vamos escrever a expressão para a área
:
Isso basicamente soma as áreas sob cada curva e tira a diferença entre elas.
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
:
Avaliada de
até
:
Passo 8
Agora, a integral de
:
Avaliada de
até
:
Passo 9
Subtraímos as duas integrais para encontrar a área:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo de
até
é aproximadamente 0,3504 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
(No primeiro quadrante)
Derive as seguintes funções
Avalie as seguintes integrais definidas.
Avalie as seguintes integrais definidas.