Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = e^(-x), y = x + 1 de x = -1 até x = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e , no intervalo de até . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integração, que é uma ferramenta para achar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas curvas. A curva é uma exponencial decrescente, e é uma reta que sobe. A gente quer saber onde essas duas curvas se cruzam no intervalo dado para determinar quais estão por cima e por baixo.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolver essa equação algebricamente é complicado, então vamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar que, dentro de até , elas se cruzam exatamente nos pontos e .

Passo 4

Agora, precisamos saber qual das duas funções está por cima da outra nesse intervalo. Vamos testar com um valor, por exemplo, :
Elas são iguais em . Vamos tentar :
Aqui, está acima de .

Passo 5

Como está acima de no intervalo de a , a área entre elas pode ser encontrada subtraindo-se a integral de da integral de nesse intervalo.

Passo 6

Vamos escrever a expressão para a área :
Isso basicamente soma as áreas sob cada curva e tira a diferença entre elas.

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de :
Avaliada de até :

Passo 8

Agora, a integral de :
Avaliada de até :

Passo 9

Subtraímos as duas integrais para encontrar a área:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e no intervalo de até é aproximadamente 0,3504 unidades quadradas.

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Derive as seguintes funções f(x) = (3 * raiz(x) + 2) / (raiz(x) - 2)
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