Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = x^2, y = x^3 de x = 0 até x = 2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e , no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos permite calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são as curvas envolvidas e como elas se comportam no intervalo dado. As curvas são (uma parábola) e (uma cúbica). Vamos identificar onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas . Para resolver isso, igualamos as equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Assim, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo. Observando no intervalo de a , por exemplo, substituindo :
Aqui, está acima de . Porém, no intervalo de a , substituindo :
Agora, está acima de .

Passo 5

Para calcular a área entre as curvas, vamos dividir a integração em dois intervalos onde sabemos qual função está acima:
  1. De a , está acima.
  2. De a , está acima.
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Á
Onde é a função que está acima e a que está abaixo no intervalo considerado.

Passo 6

Calculando a área do primeiro intervalo ( a ):
Á
Integrando termo a termo:
Á

Passo 7

Calculando a área do segundo intervalo ( a ):
Á
Integrando termo a termo:
Á
Simplificando:
Á

Passo 8

Somando as duas áreas:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e de até é unidades de área.

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