Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
de
até
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida, que nos permite calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são as curvas envolvidas e como elas se comportam no intervalo dado. As curvas são
(uma parábola) e
(uma cúbica). Vamos identificar onde essas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
. Para resolver isso, igualamos as equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Assim, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo. Observando no intervalo de
a
, por exemplo, substituindo
:
Aqui,
está acima de
. Porém, no intervalo de
a
, substituindo
:
Agora,
está acima de
.
Passo 5
Para calcular a área entre as curvas, vamos dividir a integração em dois intervalos onde sabemos qual função está acima:
- De
a , está acima. - De
a , está acima.
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Onde
é a função que está acima e
a que está abaixo no intervalo considerado.
Passo 6
Calculando a área do primeiro intervalo (
a
):
Integrando termo a termo:
Passo 7
Calculando a área do segundo intervalo (
a
):
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 8
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
de
até
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
de
até
Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
Nos problemas de 1 a 6, determine se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas.
3.
3.