Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = e^(x / 2), y = -x, x = 0, x = 2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas retas e curvas , , e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são as funções que formam os limites superior e inferior da região. Temos duas curvas: e . Queremos saber qual delas está acima da outra no intervalo de a .

Passo 3

Vamos comparar os valores das duas funções para alguns valores de entre 0 e 2. Por exemplo:
  • Quando :
    • Aqui, está acima de .
  • Quando :
    • Novamente, está acima de .
Portanto, no intervalo de 0 a 2, é a função de cima e é a de baixo.

Passo 4

A área entre duas curvas na direção do eixo é calculada pela integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo considerado. Matemáticamente, isso fica:
Áçãçã
No nosso caso:
Á

Passo 5

Vamos calcular a integral separadamente:
Para a primeira parte, fazemos uma substituição:
  • Seja , então ou
  • Então,
Para a segunda parte:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Á
Calculando em :
E em :
Subtraindo:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas retas e curvas dadas é unidades de área.

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