Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas retas e curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são as funções que formam os limites superior e inferior da região. Temos duas curvas:
e
. Queremos saber qual delas está acima da outra no intervalo de
a
.
Passo 3
Vamos comparar os valores das duas funções para alguns valores de
entre 0 e 2. Por exemplo:
- Quando
: -
-
- Aqui,
está acima de .
-
- Quando
: -
-
- Novamente,
está acima de .
-
Portanto, no intervalo de 0 a 2,
é a função de cima e
é a de baixo.
Passo 4
A área entre duas curvas na direção do eixo
é calculada pela integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo considerado. Matemáticamente, isso fica:
No nosso caso:
Passo 5
Vamos calcular a integral separadamente:
Para a primeira parte, fazemos uma substituição:
- Seja
, então ou - Então,
Para a segunda parte:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Calculando em
:
E em
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pelas retas e curvas dadas é
unidades de área.
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