Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações simples. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então separar a expressão em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de cubos, que segue a fórmula . Aqui, e , então:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração como uma soma de frações simples. Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:
Vamos expandir os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Da terceira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
E substituindo em :

Passo 5

Agora que encontramos , e , podemos escrever a decomposição em frações simples:
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, vamos separar:
Para , fazemos uma substituição , então . Ajustando, conseguimos integrar:
Para , completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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(2,0) Mostre que o limite
nāo existe.
Encontre a área da região sombreada.

Usando el método de fracciones simples calcular as seguintes integrales:
Exprese la suma o la resta como una sola integral de la forma