Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações simples. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então separar a expressão em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de cubos, que segue a fórmula . Aqui, e , então:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração como uma soma de frações simples. Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum para eliminar as frações:
Vamos expandir os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Da terceira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
E substituindo em :
Passo 5
Agora que encontramos , e , podemos escrever a decomposição em frações simples:
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, vamos separar:
Para , fazemos uma substituição , então . Ajustando, conseguimos integrar: