Usando el método de fracciones simples calcular las seguintes integrales: integral 1x^3-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações simples. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e então separar a expressão em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) . Isso é uma diferença de cubos, que segue a fórmula . Aqui, e , então:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração 1(x - 1)(x^2 + x + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + x + 1 como uma soma de frações simples. Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum 1 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1) para eliminar as frações:
1 = A x^2 + A x + A + B x^2 - B x + C x - C
Vamos expandir os termos:
1 = (A + B) x^2 + (A - B + C) x + (A - C)
Agrupando os termos semelhantes:
A + B = 0 A - B + C = 0 A - C = 1
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
2A + C = 0 A - C = 1
Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 3A = 1 Rightarrow A = 13
  2. Substituindo B = -13 na segunda equação: 2 cdot 13 + C = 0 Rightarrow C = -23
  3. Da terceira equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
E substituindo em :

Passo 5

Agora que encontramos 1x^3-1 = 13x - 1 + -13x - 23x^2 + x + 1 , 1x^3-1 = 13(x - 1) - x + 23(x^2 + x + 1) e integral 1x^3-1 , dx = 13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral x + 2x^2 + x + 1 , dx , podemos escrever a decomposição em frações simples:
13 ln|x - 1|
Simplificando:
13 integral xx^2 + x + 1 , dx + 23 integral 1x^2 + x + 1 , dx
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
12 ln|x^2 + x + 1|
A primeira integral é direta:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34
Para a segunda integral, vamos separar:
2raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3)
Para , fazemos uma substituição , então . Ajustando, conseguimos integrar:
Para , completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral 1x^3-1 , dx = 13 ln|x - 1| - 16 ln|x^2 + x + 1| - 23raiz3 tan^-1(2x + 1raiz3) + C
Onde é a constante de integração.

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