Encontre a área sob um arco da cicloide com equações paramétricas
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a área sob um arco da cicloide, que é uma curva traçada por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar. As equações paramétricas fornecidas são e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integração de funções paramétricas para encontrar áreas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área sob uma curva definida por equações paramétricas. A fórmula para a área
é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
e
são os limites do parâmetro
que definem o arco que estamos considerando.
Passo 3
Vamos calcular
. Dada a função , a derivada em relação a
é:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Aqui, usamos
de
a
porque um arco completo da cicloide corresponde a esse intervalo.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica
para resolver a última integral.
Passo 7
Substituímos os resultados das integrais na expressão da área:
Resposta
A área sob um arco da cicloide é
.
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Faça o que se pede: Mostre que, se
, então a trocoide não tem reta tangente vertical.
Mostre que:
Para cada se e somente se
.
Para cada
Prove as seguintes afirmações
Se então
ou
, logo
.
Se
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.