Encontre a área sob um arco da cicloide com equações paramétricas .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a área sob um arco da cicloide, que é uma curva traçada por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar. As equações paramétricas fornecidas são e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integração de funções paramétricas para encontrar áreas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área sob uma curva definida por equações paramétricas. A fórmula para a área é:
Aqui, é a derivada de em relação a , e e são os limites do parâmetro que definem o arco que estamos considerando.

Passo 3

Vamos calcular . Dada a função , a derivada em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área:
Aqui, usamos de a porque um arco completo da cicloide corresponde a esse intervalo.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica para resolver a última integral.

Passo 7

Substituímos os resultados das integrais na expressão da área:

Resposta

A área sob um arco da cicloide é .

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Faça o que se pede: Mostre que, se , então a trocoide não tem reta tangente vertical.
Mostre que:
Para cada se e somente se .
Prove as seguintes afirmações
Se então ou , logo .
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.